请教“含有无限多个向量的向量组的极大无关组”的问题

gaddis

比如有一组n维向量，这组向量组中向量的个数有无线多个
现在我们用教材上的方法找一个极大无关组
先找出一个非零向量α1
然后再找一个向量α2，和α1是线性无关的
然后我们继续找一个向量α3，要使得α1、α2、α3是线性无关的
我们一个一个的找下去，一直没找到，但是因为这个向量组是有无限多个限量的，我们如何确定一定没有一个向量可以作为α3来满足上述的条件呢？
偶然想到的问题，请教老师啦，谢谢哦 ：）

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/01/20 10:23am 第 1 次编辑]

下面引用由gaddis在 2011/01/20 01:48am 发表的内容：
比如有一组n维向量，这组向量组中向量的个数有无线多个
现在我们用教材上的方法找一个极大无关组
先找出一个非零向量α1
然后再找一个向量α2，和α1是线性无关的
...

gaddis

谢谢陆教授
换句话说，这种做法的前提是要这无限多个向量的构成形式要有规律
但总感觉这个前提很脆弱
要是没规律的话，那岂不是就不能用这种方法来做了呢
如果不能这样做，那么书上说的“非零向量组必有极大无关组”这个意思就应该要再商榷了吧[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 gaddis 在 时添加 -=-=-=-=-
或者是否可以这么理解：“非零向量组必有极大无关组”，因为就算是无限多个向量的向量组，只要取的向量个数大于向量维数的时候，取的这部分向量组成的向量组必定线性相关。
但是我们不一定能确定这个含有无限多个向量的向量组的某个极大无关组，因为如主贴中所说的，我们在找α3的过程中，如果这个向量组中确实不存在某个向量满足α3的条件的，但是我们也永远无法确定，因为我们无法把所有的向量都这样查找一遍

luyuanhong

下面引用由gaddis在 2011/01/20 05:03pm 发表的内容：
谢谢陆教授
换句话说，这种做法的前提是要这无限多个向量的构成形式要有规律
但总感觉这个前提很脆弱
要是没规律的话，那岂不是就不能用这种方法来做了呢
...

如果只是要在理论上证明：“由无限多个 n 维向量组成的向量组，必存在极大无关组”，
而不是要求具体求出极大无关组，那么，即使向量组的构造没有规律，也是可以做到的。
证明如下：
首先，假如在这些向量中，存在 n 个线性无关的向量，那么，由线性代数的定理可知，
它们可以构成 n 维线性空间的一组基，其他 n 维向量都可以由这组基线性表出，因此，
这 n 个线性无关的向量，就是极大无关组。
假如在这些向量中，不存在 n 个线性无关的向量，但是存在 n-1 个线性无关的向量，
那么，因为不存在 n 个线性无关的向量，所以，其他的向量与这 n-1 个向量放在一起，
必定线性相关，因此，这 n-1 个线性无关的向量，就是极大无关组。
假如在这些向量中，不存在 n-1 个线性无关的向量，但是存在 n-2 个线性无关的向量，
那么，因为不存在 n-1 个线性无关的向量，所以，其他的向量与这 n-2 个向量放在一起，
必定线性相关，因此，这 n-2 个线性无关的向量，就是极大无关组。
…………
就这样，一步一步分析下去，考虑的线性无关的向量数逐步减小，最后总是可以减小到：
假如在这些向量中，不存在 2 个线性无关的向量，但是存在 1 个非零向量，这个向量本身
当然是线性无关的，因为不存在 2 个线性无关的向量，其他的向量与这个向量放在一起，
必定线性相关，因此，这个非零向量，就是极大无关组。
假如在这些向量中，不存在非零向量，也就是说，每个向量都是零向量，每个向量本身就线性
相关，这时可以说，由零个向量组成的向量组，就是极大无关组。
上面，我们把所有可能出现的情况，都分析到了，没有任何遗漏，在分析到的任何一种情况中，
结论都是存在极大无关组。这样，我们就从理论上证明了：必定存在极大无关组。

gaddis

是的
那么就是说
当“由无限多个 n 维向量组成的向量组，必存在极大无关组”
如果这个向量组的构造有规律，我们可以找出具体的极大无关组
如果这个向量组的构造没有规律，我们可能可以找出具体的极大无关组，也可能无法找出具体的极大无关组。

luyuanhong

下面引用由gaddis在 2011/01/20 09:13pm 发表的内容：
是的
那么就是说
当“由无限多个 n 维向量组成的向量组，必存在极大无关组”
如果这个向量组的构造有规律，我们可以找出具体的极大无关组
如果这个向量组的构造没有规律，我们可能可以找出具体的极大无关组，也可能无法找出具体的极大无关组。

对。是这样。

gaddis

再次感谢陆教授了 ：）