分一个三角形为有相等内切圆的两个三角形

ccmmjj126

经过已知三角形一顶点，作一直线，将此三角形一分为二，且这两部分有相等之内切圆。
这个问题几年前就见过，算得上老题了，但网上总看不到解答。今我发到本坛，看看有没有人研究过。
如下图；已知三角形ABC，求作BC上的点D，将三角形分为ABD、ACD两部分，且这两部分有相等之内切圆。

ataorj

如图,要求两三角形内切圆相等,求做D点

分析:
题目等价于:
求一角度x,使得∠GAC绕A旋转x至∠IAJ时,
AJ,BF交于K;AJ,CE交于L;且KL//BC

r(Cot[x]+Cot[n])=b
r(Cot[p-x]+Cot[m])=c

Solve[{r(Cot[x]+Cot[n])==b,
r(Cot[p-x]+Cot[m])==c},{r,x}]
两组解:
r=((bCos[p])/2+(cCos[p])/2+(bCot[m]Sin[p])/2+
(cCot[n]Sin[p])/2-Sqrt[-4cSin[p](bCos[p]Cot[m]-
cCos[p]Cot[n]-bSin[p])+(-(bCos[p])-cCos[p]-bCot[m]Sin[p]+
cCot[n]Sin[p])^2]/2)/(Cos[p]Cot[m]+
Cos[p]Cot[n]-Sin[p]+Cot[m]Cot[n]Sin[p]),
x=ArcCot[(Csc[p](bCos[p]+cCos[p]+bCot[m]Sin[p]-
cCot[n]Sin[p]+Sqrt[-4cSin[p](bCos[p]Cot[m]-
cCos[p]Cot[n]-bSin[p])+(-(bCos[p])-cCos[p]-bCot[m]Sin[p]+
cCot[n]Sin[p])^2]))/(2c)]

r=((bCos[p])/2+(cCos[p])/2+(bCot[m]Sin[p])/
2+(cCot[n]Sin[p])/2+Sqrt[-4cSin[p](bCos[p]Cot[m]-
cCos[p]Cot[n]-bSin[p])+(-(bCos[p])-cCos[p]-bCot[m]Sin[p]+
cCot[n]Sin[p])^2]/2)/(Cos[p]Cot[m]+Cos[p]Cot[n]-Sin[p]+Cot[m]Cot[n]Sin[p])
x=ArcCot[(Csc[p](bCos[p]+cCos[p]+bCot[m]Sin[p]-
cCot[n]Sin[p]-Sqrt[-4cSin[p](bCos[p]Cot[m]-
cCos[p]Cot[n]-bSin[p])+(-(bCos[p])-cCos[p]-bCot[m]Sin[p]+
cCot[n]Sin[p])^2]))/(2c)]

=======
上面在理论上可行,比较复杂,先打住.
其实我这个图先画的最难画的结果AD和两圆,再画出B,C的,这个容易.是逆向容易,顺行正向不易.

ataorj

两组解有可能一组无意义,我没分析.
解出的r和x理会一个即可,哪个容易用哪个

ataorj

我们知道,三角函数可以用线段表示
Cot[x],Cot[n],Cot[m],Cot[p]
分别改用如下代替:
x,n,m,p
可解得:
r1=(bm+cn-bp+cp-Sqrt[(-(bm)-cn+bp-cp)^2-4bc(1+mn+mp-np)])/
(2(1+mn+mp-np))
r2=(bm+cn-bp+cp+Sqrt[(-(bm)-cn+bp-cp)^2-4bc(1+mn+mp-np)])/
(2(1+mn+mp-np))
并非那么复杂

ataorj

做bm+cn-bp+cp=s,1+mn+mp-np=t
则
r1=(s-Sqrt[s^2-4bct])/(2t)
r2=(s+Sqrt[s^2-4bct])/(2t)

ataorj

1 补充,上面计算的是
Solve[{r(x+n)==b,
r((p*x+1)/(p-x)+m)==c},{r,x}]
2 数可用线段表示,
线段可加减乘除,开平方,结果也用线段表示.
elim有个主题应该是"图形运算"吧,可参考以完成具体作图.

ataorj

x,n,m,p[字母含义已变,图示中的字母提示相应值的关系位置]

ccmmjj

谢谢ataorj的用心解答，虽不尽满意，还是不错的。以下是我对这题的解答，全网看来只有我对这个问题写出纯几何的答案，只可惜是错误的。

关于这个解答错误的原因，一是看到了Ｄ点平分两条角平分线的交点，但忽略了验证作图的ＡＥ和ＡＦ是否确实平分角ＢＡＤ和ＣＡＤ。二是看到了ＢＥ和ＣＦ的比等于ＡＢ和ＡＣ的比，但这个比所确定的ＢＥ和ＣＦ不一定是由三角形ＰＡＣ所确定的，它是两个成正比的变量。
错误的解答图片保留，作为儆戒。再思考几天，如有确定的几何作法，下个礼拜再写出来。如能力不足，就先放一边，以待高人。

ataorj

更正: (p-x)改为(x-p)
Solve[{r(x+n)==b,
r((p*x+1)/(x-p)+m)==c},{r,x}]

r1=(bm+cn+bp+cp+Sqrt[(-(bm)-cn-bp-cp)^2-
4bc(-1+mn+mp+np)])/(2(-1+mn+mp+np))
r2=(bm+cn+bp+cp-Sqrt[(-(bm)-cn-bp-cp)^2-
4bc(-1+mn+mp+np)])/(2(-1+mn+mp+np))

令s=bm+cn+bp+cp,t=-1+mn+mp+np,则:
r1=(s+Sqrt[(s)^2-4bct])/(2t)
r2=(s-Sqrt[(s)^2-4bct])/(2t)

ccmmjj

关于昨天发的解答图片，经自己分析，是不正确的。只抓到的图形的片面性质。原帖已编辑，错误仍保留，作为错误示范，提醒自己。