a,b,c 是三个不同的质数，a｜(3b-c)，b｜(a-c)，c｜(2a-7b)，20＜c＜80，求 a^b×c

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

下面是网友 195912 在《数学中国》论坛上对此题的解答：

题:设三个不同的质数a,b,c,满足

                a｜(3b-c),b｜(a-c),c｜(2a-7b),20<c<80,

求(a^b)c=?

解 :因为

                 a｜(3b-c),b｜(a-c),c｜(2a-7b),

根据整除的定义，存在整数 x , y , z 满足

                 3b - c = ax                   ( 1 )

                  a - c = by                     ( 2 )

                  2a - 7b =cz                   ( 3 )

解方程组，得

                  7x - 2y + 1 = xyz - 3z  ( 4 )

令

                    7x - 2y + 1 = 0           ( 5 )

根据二元一次不定方程整数解定理，得

                   x = -1 -2t , y = - 3 - 7t , t ∈ Z .

由 ( 4 ) 得

                   z = 0

又 a , b , c 是三个不同的质数，且

                 20 < c < 80

由( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) 得

                a = 7 , b = 2 , c = 41

所以

               (a^b)c=( 7^2 )×41= 2009