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数学杂谈(反思不确定原理)
毋庸置疑，哥德尔先生的不确定原理是正确的，如果某区域处于不完备的状态下，欲想解决该区域中所有的问题，乃是不可能的，这当然也包括数学公理在内。因为所谓的数学公理，并非是现成的，而是人们从实践的经验中提炼出来；由于人类认识事物的本质具有一定的局限性，所以，不太可能将全部的数学原理都认清。尽管这数学公理只是分门别类地仅针对自己所属的那个分支，但总会有这么一些原理未被认识，也就造成了对全域认识上的缺陷，故而，不确定原理乃是放之四海而皆准的一条原理。然而，对不确定原理之应用，却是一个必须十分谨慎的问题，如果到处滥用，其所造成的负面影响也是难以估量的。 在哥德尔先生之前，就已有人用不确定原理对平行公理进行过质疑，言道，平行公理于其它的几何公理而言，是独立的；换言之，平行公理不能用其它的几何公理推断出来。不过，冒昧地问一声，平行是否应该与垂直是相辅相成的？按理说，绕圆转一圈为360度，当然这是人为地规定；如果在圆心处放置一个二维的坐标系，显然，X轴与Y轴相交于圆心且是相互垂直的。那么，固定住坐标系而让圆心沿X轴进行位移，在新的位置上再对圆心放置一个二维的坐标系，那么，二根Y轴是否应该是平行的？但有人说，这所谓的平行于无限处会相交于一点。也许是吧，反正谁也没到无限远处去看过。但有一点让我百思不得其解的是：于正的方向可以相交于一点，于负的方向应该会有同样的情况发生，总不会是一个方向相交于一点，而另一个方向却是翘起了尾巴不知跑到哪里去了，这就不再是平行的直线了。如果确实是两头都相交，那么，我们可以让圆心沿X轴位移那么一点点，给其一个数值为无穷小量ε，也就是说二个圆心有这么一点点距离，无疑，这在二个无穷处相交于一点的二条线构成了一个三角形。如果取消了平行公理，这二边之和大于第三边的定理也就无立足之地了。假设这二边之和大于第三边的定理侥幸于以生存，那么，以这大于第三边的长度之一半为半径，所作的圆，与原先的圆是否重合呢？若重合，则是以不同长度的半径可以画出同样的圆来。假设这二个圆不重合而在无限处相交，由于相交，则它们在该点上的切线是一样的，但在其它点上的切线是不一样的，于是乎，微商之值也就必须有所改变，总不能说它们是由于突变而造成切线归于统一吧。
毫无疑问，这样的认识是基于圆的度数是被划分为360度这样的整数，而且该整数被2除是没有余数的；如果圆周的度数不是360度而是一个无理数，那么，一切都将起了变化。欧几里得空间是根据人为的认识所规定的，乃是一个理想的结构，然而，物体在空间中的实际运行是否是根据欧氏空间进行？由于万有引力，不仅是物体间的吸引，恐怕这坐标系也是会被扭曲的，确是一个不确定的因素。爱因斯坦的相对论，就是在非欧几何中获得数学上的支持的。 如此说来，在欧氏空间中研究数学似乎并无什么实用价值？其实不然。我们知道，力学中的力是由诸力的合力所组成，只有分解出各个方向上的力，才能知晓合力的方程，达到平衡。同样，在欧氏空间中研究数学，乃是最为基础的，只有通晓了欧氏空间中的数学，才有资格拓展到其它的空间中去。
对于数学，人们最先认识的是自然数：1、2、3、...等，随着人类社会的发展，只会数“数”，已满足不了人类的需要，于是乎，加减乘除四则运算也就应运而生。有了加减乘除，人们发现运算中有一定的规律，则就有了函数。对于函数，人们发现随变量的变化却有不同的函数之值，为了测定这最小距离的变化之值，也就有了微积分。逐步地深入了解数学的本质，应该是数学的历程，无疑，这一历程所遵循的乃是辩证法则所赋予的历程。
既然如此，那么，不可避免地在认识的过程中会产生这样那样的错误认识，也就不足为怪了。由于数学从认识自然数开始，至今已高度地抽象化，仅用一些符号来表示。面对这些符号，有人探索出某些规律性的东西，可以真实地反映出自然界中的某些关系；但也有人随心所欲地予以探索，根本不顾所涉及的内容是否正确，只要有所发现，就是其能，一些所谓的定理完全是建筑在沙丘之上，没有根底。 因此，规范数学中各个分支中的公理，所有的演绎都必须依据这公理而来，也就成为数学中的首要任务。但是，所谓的公理乃是一些仅凭直觉上不证自明的东西，实难有一个确切的规定。为了探索集合论中的公理，曾引发了一场激烈的辩论，彼此争执不下。在哥德尔先生的不确定原理的证明中，方才定息了下来，因为任何一个系统中的公理，都存在着不确定的因素。 然而，滥用不确定原理，却有可能扼杀本可被揭示的规律，以鄙人愚见，哥德尔先生就曾犯有这样的错误。在对待连续统假设的问题上，哥德尔先生用不确定原理证明了如果ZFC系统是协调的话，则推断不出连续统假设的证明。也许这是哥德尔先生为了证明不确定原理的实用价值所作的探索，但这样的结论是错的。鄙人不才，却愿助哥德尔先生一臂之力，进行分析。
哥德尔先生是从公理的相容性上对此问题进行分析的。但是，如果集合是完备的，也就不存在相容性上的问题。在这一点上，也是哥德尔先生一直所强调的原则，不确定原理是在不完备的状态下才会发生。因此，主要矛盾方面应该是集合的完备性，而不是相容性。对于集合的完备性，有摩根定律：
{n∩i=1}(A_i)~=({n∪i=1}A_i)~
已给予了很好的解答。由于摩根定律的等式两边是互补的，所以，任意多少个集合在摩根定律下都是完备的，而且摩根定律所揭示的是全域中的情况。换言之，不确定原理是不能应用在摩根定律上的。
作为集合，无论是自然数集N，抑或是实数集R，其完备性条件，必定是遵循着摩根定律中的规律而运作。如果能对集合在全域上作出互补的表达式，也就有了完备性条件，则就不存在不确定的因素。那么，问题的关键也就在于如何应用摩根定律于诸集合之中。对于自然数集N，我们可以按自然数的素数或合数的性质予以分类：p=H~，即从否定了合数之自然数中来获得素数，这就是著名的埃拉托色尼筛法。对于实数集R，我们可以根据自然数N的幂集合，以诸自然数为依据来分割：N~=φ，即与实数集R互补的是空集合。
我们知道，任意集合都有其幂集合，实数集R作为一个集合，当然也有其幂集集。然而，实数集R中的元素可以用自然数集N的幂集合来表示，那么，实数集R的幂集合当然也可以用自然数集N的幂集合的幂集合来表示。由于所表示的数字都是自然数，当然就可以用自然数为依据进行分割，有：N~=φ。换言之，对实数集R的任意阶的幂集合，所得到的良序化之链都是一样的，也就有以自然数为序的良序化之链是所有良序化之链中最大的链。我们知道，所谓的良序化之链所表达的乃是集合的基数，可知，实数集R的基数是所有用自然数为基本单位中最大的一个基数。
所谓的连续统假设是指：继自然数集N的基数之后的基数是否为实数集R的基数？前面已经知道，实数集R的基数是所有以自然数为基本单位的集合中基数最大的，于是：要么只存在二个基数，自然数集N的基数和实数集R的基数；要么其它的基数是介于自然数集N与实数集R之间。在集合论中，早已指出，集合的基数有无穷多个，可知，连续统假设并不成立。
以往之所以不能确定集合的基数，这就用得着哥德尔先生的不确定原理。过去对集合的基数之分析，都是用自然数去数，数来数去，只能数出一个可数的与不可数的二类，因为自然数集N对于比其大的基数之集合是不完备的。如果我们不是用自然数去数，而是以实数集R为测度去衡量那些无穷集合，由于实数集R的基数是所有以自然数为基本单位的集合中基数最大的，那么，这些介于自然数集N和实数集R之间的无穷集合的基数也就昭然若揭了。
例如，对加法关系M=a+b中的元素进行良序化，根据摩根定律，可知其有完备性条件：p(1,1)=(A∪B)~，即从全域中筛去具有合数元素的并集。鄙人在《试谈哥德巴赫猜想》中已证明，p(1,1)的一般之解是：
p(1,1)=M/2{∏p|M}(1-1/p){∏p⊥M}(1-2/p)
其中，符号“⊥”表示不整除。从这一般之解中可以知道，介于自然数集N与实数集R之间的基数有无穷多个。
显然，哥德尔先生在连续统假设问题上的失误，就失误在违背了其自己所归纳的不确定原理上，用自然数集N去衡量连续统假设。若用哥德尔先生自己的话来说，将定义域定在了自然数集N上，却要去考察那些值域比自然数集N大的无穷集合的基数，其不确定的因素也就成了主要的矛盾了。如果能以实数集R为定义域，也就没有了这不确定因素之虞，因为所求得的基数之值都在这实数的范畴之中。
不确定原理又叫不完全原理，无论是从字面上，还是在实际应用上，其只与完备性有关，而与相容性无关。鄙人猜想，也许是与当时在相容性问题上的一些悖论有关。当康托尔先生的集合论渐渐地为人们所接受后，但由于对集合论认识上的不足，提出了一些悖论。康托尔先生从自己的一条定理中发现了一个悖论：按照集合论的概括原则，任一性质都决定一集合，因此，可以假定u是由所有集合所组成的那个集合；对于u，我们有它的幂集合P(u)；现在问，集合u与集合P(u)中，哪个的基数更大些呢？之后，又有罗素先生提出了一个悖论，使用集合论的符号，他构造了这样一个集合：T:={x|x not∈x}，也就是说，T是由所有那些不属于自己的那些集合所组成，任一集合x，如果有x not∈x成立，那么这个x就是T的元，反之，T中每一元x都有这种性质，亦即x ∈T，就有x not∈x；现在问，集合T是否属于它自己呢？这些都是有关相容性的问题。对于康托尔悖论，在前面所述中已有了答案，集合的基数并非是随幂集合的阶之增大而增大，乃是由单位元素所决定。在实数集R之上的幂集合，都与实数集R具有同样的基数。同理，任意性质的集合，如果该集合中的元素是无穷的，则其幂集合已将这无穷多个元素之组合殆尽，那么，幂集合的幂集合已无新的元素可以组合，仅仅是重复地组合而已，所以，它们的基数乃是相同的。康托尔悖论之所以会出现，乃是由于康托尔定理“任意集合的幂集合之基数大于该集合的基数”所引起的。显然，康托尔先生没有考察过实数集R的幂集合之基数其实与实数集R的基数一样大。
对于罗素悖论，则是一个概念上的悖论。为了说明此一悖论，罗素先生形象地举了一则理发师悖论的故事。该故事说道：【在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。】这是一个矛盾的推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌上所言，他只给村中那些不给自己理发的人理发，他就不能给自己理发。因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。
无疑，在理发师悖论中，其内在的矛盾是无法排除的，因为此矛盾的双方属于逻辑中的排中律之非此即彼的双方，没有前辍可缓冲。理发师由于没有掌握排中律的道理，说话时将二个本不应该同时出现的事件融为一体，从而引发了语义上的矛盾。试想一下，矛盾之词的来历，也正是鉴于这样的道理。
然而，所谓的罗素悖论，却并非此类矛盾的翻版。因为在罗素悖论中是有前提的，这个前提就是集合。我们知道，所谓集合，就是将具有某性质的元素归纳在一起，用一符号表之，从而才有了这个所谓的集合；否则，这所谓的集合也就无从谈起。集合作为一种概念，最起码的常识就是应该在逻辑上可以赋予其内涵和外延，人们才能了解集合。
作为集合的外延，很容易理解，该集合所归纳的元素就是它的外延。例如，设集合A为有自然数1、2、3，则有集合A：{1,2,3}。而对于集合的内涵，鄙人不才，不敢肆意妄为，给集合的内涵下什么定义。但有一点却是可以肯定的，集合在归纳元素时，不可能将自己吞进肚子里去。因此，任何集合都应该具有这样的性质，即在集合的本身就存在有逻辑学中的排中律：{x|x Not∈x}。作为一个集合的符号x，其中的元素可以是任何别的东西，但决不会是符号x本身。因为任意集合都具有{x|x Not∈x}这样的性质，所以符号{x}在集合论中是被定义为另一个具有元素x之集合，而不是集合x。
当罗素先生以悖论的方式在询问T是否属于它自己时，只是在重复提问集合开始时的问题，并无新的内涵。这让我想起了小时候的一个讲故事之故事，故事的内容是：【从前有个小和尚，给别人讲故事，那位小和尚说：从前有个小和尚，给别人讲故事，那位小和尚说：从前有个...。】反反复复就是这两话，可以讲到世界的末日，也没有将故事讲完。显然，罗素悖论是忘却了所谓的符号X只代表符号本身这一事实，混淆了符号中的内涵与外延之区别。{x|x Not∈x}是作为符号x的内涵而存在；符号x中的元素是集合x的外延，说明在集合x中具有多少个元素。同样，对于集合T也具有这样的性质，其与集合x的区别仅仅是符号之不同，而没有本质上的区别。罗素悖论企图移用理发师悖论于集合论，却在前提上犯了个错误。在理发师悖论引发了矛盾的推理之前提，而在集合论却是有关集合的内涵中最基本的原则：{x|x Not∈x}。
如果罗素悖论成立，那么，悖论的反义就是{x|x ∈x}是正确的；如此而为，会有什么样的效应呢？设集合x有元素为x:{1,x}，打开集合x中元素x，则有：
x:{1,x:{1,x:{1,x:{1,x:{1,x:{...}}}}}}
这就是将{x|x Not∈x}当作悖论所获得的结果。若{x|x Not∈x}不是作为悖论而是集合的属性，即任何集合都不可能将自身归纳在内，就不会在集合内产生无限循环之现象。所以，{x|x Not∈x}应该是集合的内涵，而不是外延。换言之，罗素悖论中的集合T，仅仅是归纳了没有外延的空集而已。
但是，正是由于这些悖论，引发了数学上的第三次危机，而悖论所阐述的是关于相容性的问题。于是乎，相容性问题也就成了众矢之的，一时间，将什么都扯到了相容性的问题上去了。哥德尔先生的不确定原理，本来是在值域映射的大小问题上阐述的，却拉进来一个G和非G的问题，以无法确定到底是G还是非G，在相容性上结束了其不确定原理。正是由于这模糊的认识，才导致了哥德尔先生以相容性的问题对连续统假设作了错误的判断。 应用不确定原理，我们可以对某一问题是否有解作一初步的估计。譬如，在3x+1问题上，该习题的命题是：任意给定一个自然数，如果逢到是偶数，则该数除以2，若逢到是奇数，则该数乘3后再加1，问：经过了若干次变换后，是否都能使数值成为1。诚然，尽管从统计上可以看到，直到很大的自然数都能使数值变换为1，但其却是不确定的。因为任取一个自然数，若该数不是2^n，则除以2的步骤最终必然会得出一个非1的奇数。然而，该奇数乘以3再加1，就已经不再是原先的那些素约数所组成的数，而是变成由另外一些素约数所组成的数。这是因为除以2和乘3再加1是二个不同的函数，因此，完备性的条件是无法作出的。显然，3x+1与2^n并不是一一对应的，因为它们不是同构映射的，有些奇数必须须经过多次的同态映射才能达到2^n之值。由此可知，任何声称已解出了该题的肯定之解实乃是骗人的说法。
再如，对于不定方程ax+by+c=0是否都有素数之解？其中，系数a、b、c是两两互素的整数。此不定方程乃是丢番图方程，为希尔伯脱的第十问题。移项，则有：ax=-(by+c)，也就是说，ax与by+c仅仅是剩余类之间的关系。根据费马小定理：“若q不整除np，则q-1个数：p,2p,...,(q-1)p分别同余于1至(q-1)中的一个数，并且对模q互不同余：{m_1}p≠{m_2}p(mod_q)”，对于任何的自然数都可以用模p制造出相应的剩余类，可知，该方程是完备的。换言之，丢番图方程对于任何的整数系数都是有素数之解的。
既然不确定原理所涉及的内容是在一定的区域中有无值域的问题，何以哥德尔先生却要以相容性来表述？恐怕与当时数学界非议选择公理有关。我们知道，所谓的选择公理，在集合论中早已被证明是与集合的基数等价的，可是，迄今为至，于公认的数学中却是连一个基数也没选择出来，又怎能让人相信它的真正价值呢？在集合论的公理中，选择公理似乎成为一个可有可无的公理，要不然也不会分ZFC系统和ZF系统二种，二者的区别就在于ZF系统中没有选择公理。如此不受欢迎的选择公理，哥德尔先生又怎敢拿来应用，于是乎，无法选择区域的大小只好以相容与否来阐述了。
选择公理之所以遭遇如此悲惨的命运，无疑，与数论有极大的关系。根据选择公理，对自然数集N作商集化的分割，以诸素数为分割的依据，可以有良序化之链是：
π(2)＞π(3)＞π(5)＞π(7)＞...＞π(p_{n-1})＞π(p_n)＞...
其中，商集化子集π(p_n)在自然数集N中所占的比例是：
π(p_n)=1/p_n{n-1∏i=1}(1-1/p_i)
而诸商集化子集π(p_n)的出现概率之和∑π(p_n)是：
∑π(p_n)=∑1/p_n{n-1∏i=1}(1-1/p_i)
用1减之
1-∑π(p_n)=∏(1-1/p)
可知，由选择公理所得到的数据是无穷乘积∏(1-1/p)，但在数论中，这样的无穷乘积∏(1-1/p)是被等于零的。辛辛苦苦获得的数据却等于零，岂不令人心寒？
但无穷乘积∏(1-1/p)是否真的等于零？让我们展开乘积∏(1-1/p)，有：
∏(1-1/p)=(1/2)*(2/3)*(4/5)*(6/7)*(10/11)...*((P_{n-1})/P_n)*...
＞Lim(1/{P_n}).
由于{P_n}-1≥P_{n-1}，因此，在乘积之相邻的两个因式中，后一因式的分子总比前一因式的分母大(3-1=2除外)。将分子与分母相约，保留所谓的最后因式之分母，显然有：
2*4*6*10*12*...*({P_n}-1)＞2*3*5*7*11*...*(P_{n-1}).
即可得到上述之表达式。不管Lim{P_n}是否穷尽了素数，表达式：
∏(1-1/{P_n})＞Lim(1/{P_n})
是不会改变的。
用最初等的四则运算就可算出无穷乘积∏(1-1/p)具有大于零的值，何以数论要将其说成零？无疑，是无穷乘积∏(1-1/p)循序渐进的性质吓住了数论，使其不敢相信，在零的邻域中，还有这么许多可以表示出来的无穷小量，且是用选择公理而不是用解析数论求出来的。毫无疑问，所谓的无穷乘积∏(1-1/p)就是康托尔先生孜孜以求的超限数，而且这样的超限数有无穷多个。在哥德巴赫猜想之解中就能求到许多。
在加法关系M=a+b中，利用公式M=np=(n-m)p+mp和M=np+r=(n-m)p+mp+r，可以知道：在M=np=(n-m)p+mp中应用选择公理，由于(n-m)p与mp是在同一个a+b元素中相加，m之值可以从1到n/2，之后的情况也只是重复已经计算过的元素，所以，每隔p之值就有一个具有素约数p的元素出现。从M/2p=n/2中可知，其有出现概率为1/p，因为M=a+b之全域共有M/2个元素。由此可知，在加法关系中，与素数p互素的元素就有出现概率1-1/p。在M=nq+r=(n-m)q+mq+r中应用选择公理，由于(n-m)q与mq有位差r，其不能在同一个a+b元素中相加，m之值可以从0到n-1，所以，每隔q之值就有二个具有素约数q的元素出现，一个在a中，一个在b中。也就是说，其在不大于M的数序中可以有M/q的个数，则对于M=a+b的全域而言，有出现概率为2/q。由此可知，在加法关系中，与素数q互素的元素就有出现概率1-2/q。由此我们就可以获得加法关系中两个奇素数之和的一般之解有系数：
p(1,1)/(M/2)={∏p|M}(1-1/p){∏p⊥M}(1-2/p)
这些的系数都是小于无穷乘积∏(1-1/p)的。
能写出这些超限数，就足以说明它们的存在，更何况它们都是从加法关系中求出来的。换言之，选择公理决非可有可无的一条公理，而是集合论中一条具有举足轻重的公理。以往正是由于轻视了选择公理的作用，导致在许多问题上的模糊不清。以哥德尔先生为例，用相容性来分析连续统假设，犹如用尺来枰重量，根本无济于事。须知，不确定原理并非是用相容性可以解释的。
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本文作者:胡桢 |
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发表于 2006-3-4 11:18
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