an=n^2 ，证明：1/a1+1/a2+…+1/an＜2-1/n（ ＜7/4 ，＜5/3 ）

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

xfhaoym

第一问能这样证明吗？

luyuanhong

楼上的做法不对。因为原不等式两边同时乘以 n 后，变成：

n/1^2 + n/2^2 +  n/3^2 + …… + n/n^2 ＜ 2n－1 。

此式不能约简为

1/1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n ＜ 2n - 1 。

xfhaoym

谢谢，知道了．

王守恩

表中所有数的和是“1”,本题是求表中第一行数的和，可知和肯定小于“1”。

luyuanhong

王守恩

给出另类解法：

王守恩

王守恩 发表于 2017-1-12 13:45
给出另类解法：

表内所有数的和等于“1”
请看：
第1列的和是1/(1x2)=1/2
第2列的和是1/(2x3)=2/3-1/2
第3列的和是1/(3x4)=3/4-2/3
第4列的和是1/(4x5)=4/5-3/4
第5列的和是1/(5x6)=5/6-4/5
第6列的和是1/(6x7)=6/7-5/6
第7列的和是1/(7x8)=7/8-6/7
第8列的和是1/(8x9)=8/9-7/8
。。。。。。
表内所有数的和
1/2-1/2+2/3-2/3+3/4-3/4+4/5-4/5+5/6-5/6+6/7-6/7+7/8-7/8+8/9......
=（n-1）/n=1

题外知识。
1、我们已经知道第1行所有数的求和公式。
2、我们还不知道第1行前面任意个数的求和公式。
3、我们还不知道第2行所有数的求和公式。
4、我们还不知道第2行前面任意个数的求和公式。
5、我们已经知道第3行所有数的求和公式。
6、我们还不知道第3行前面任意个数的求和公式。
7、我们还不知道第4行所有数的求和公式。
8、我们还不知道第4行前面任意个数的求和公式。
9、我们已经知道第5行所有数的求和公式。
10、我们还不知道第5行前面任意个数的求和公式。
11、我们还不知道第6行所有数的求和公式。
12、我们还不知道第6行前面任意个数的求和公式。
......

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：