级数与平方数

蔡家雄

兔子数列中的勾股数

\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, ......\)

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数：

\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d\),

则 \((ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)

兔子数的平方性质
\(f_n = [((1+√5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n] /√5
    = 1，1，2，3，5，8，13，21，......\)

\(f_{2n}, f_{2n+2}, f_{2n+4} 和 4*f_{2n+1}*f_{2n+2}*f_{2n+3}\),
在这四个数中，任意两个的乘积，再+1，是一个完全平方数。
1*3+1=2^2
1*8+1=3^2
1*120+1=11^2
3*8+1=5^2
3*120+1=19^2
8*120+1=31^2

蔡家雄

设 \(P_n = 1，2，5，12，29，70，169，408，......\) 是 佩尔数列，

求证：\(P_n*P_{n+1}*P_{n+2}*P_{n+3}+1 =\) 完全平方数。

则 \(1*2*5*12+1=11^2\)

则 \(2*5*12*29+1=59^2\)

Treenewbee 的解答，见链接：http://www.mathchina.com/bbs/for ... 4&fromuid=45368


(1) 设 \(f_n=1, 3, 8, 21, 55, 144, ...\)

     则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) 及 \(f_n*f_{n+1}+1=(f_{n+1} - f_n)^2\)

(2) 设 \(f_n=1, 4, 15, 56, 209, 780, ...\)

     则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) 及 \(2*f_n*f_{n+1}+1=(f_{n+1} - f_n)^2\)

(3) 设 \(f_n=1, 6, 35, 204, 1189, 6930, ...\) 则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) ,

     且 \(f_{n}^2\) 是 三角数 及 \(f_n*f_{n+1}\) 是 三角数。

(4) 设 \(f_n=1, 10, 99, 980, 9701, 96030, ...\) 则 \(f_n*f_{n+1}\) 是 三角数。

Treenewbee 的解答，见链接：http://www.mathchina.com/bbs/for ... 3&fromuid=45368


Cn = [(1+√2)^n+(1 - √2)^n]/2
    = 1，3，7，17，41，99，239，577，......

Cn*C(n+1)*C(n+2)*C(n+3)+4 = 完全平方数。

蔡家雄

连续平方和趣题：

求出\(n+1\)个连续平方数之和等于\(n\)个连续平方数之和的通解公式。

\(3^2+4^2=5^2\)

\(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)

\(21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\)

\(36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\)

等号左边第一个数是三角数\(w=m*(2m+1)\)

等号右边第一个数是       \(m^2+(m+1)^2\)


求解：毕氏方程
a^2+b^2 = c^4

(1)式 7^2+24^2=5^4
(2)式 119^2+120^2=13^4
(3)式 527^2+336^2=25^4
(4)式 1519^2+720^2=41^4
(5)式 3479^2+1320^2=61^4
(6)式 6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解：
a = (2k^2+2k -1)^2 -2,
b = 4k(k+1)(2k+1),
c = 2k^2+2k+1.

此时：(1)式   (2)式 是 a < b ，a为勾，b为股，
但  (3) (4) (5) (6)式 是 a > b ，b为勾，a为股，
即 a 可为勾，可为股，b 亦如是。


罗士琳勾股数本原解公式

设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中，E 就是著名的 Euler 函数。但，不是朱火华的公式。


本原勾股数新公式

设 \(n\)为正整数，\(k\)为非负整数，

设 \(a= 2^{k+1}*(2^k+2n -1)\)
    \(b= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}\)
    \(c= ((2n+2^k -1))^2 -2^{2k}+2^{2k+1}\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=0\) 时，有 \(a=4n,  b=4*n^2 -1,  c=4*n^2+1\).

当 \(k=1\) 时，有 \(a=8n+4,  b=(2n+1)^2 -4,  c=(2n+1)^2+4\).

当 \(n <=Floor[\frac{1 + 2^k\sqrt{2}}{2}]\) 时，\(a\) 是股，不是勾，


本原勾股数新公式

设 \((2k -1)\) 与 \((2n+1)\) 同奇且互素，

设 \(a= (2k -1)*(2n+1)\)
    \(b= 2*n^2+4kn -2n\)
    \(c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2\)

则 \(a^2+b^2 =c^2\)

当 \(k=1\) 时，有 \(a=2n+1,  b=2*n^2+2n,  c=2*n^2+2n+1\).

设 \(A=b^2-a^2\), \(B=2ab\) ,

则 \((b^2-a^2)^2+(2ab)^2=A^2+B^2=C^4\) ,

例 \(a=7, b=24, c=25\), 则 \(A\)是股不是勾，\(B\)是勾不是股，

王守恩

蔡家雄 发表于 2017-11-16 06:33
兔子数列中的勾股数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,
1346269, 2178309,3524578,5702887, 9227465, 14930352, 24157817,39088169,
63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, .........

\(\displaystyle F_{n}=\bigg[\frac{\cos(\arcsin(i/2) n)}{\cos(\arcsin(i/2))}\bigg]\)


1, 2, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,
15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443,  439204, 710647, 1149851,
1860498, 3010349, 4870847, 7881196,12752043, 20633239, 33385282, 54018521,
87403803, 141422324,  228826127, 370248451, 599074578, 969323029, ..........

\(\displaystyle L_{n}=\bigg[\frac{\sin(\arcsin(i/2) n)}{\cos(\arccos(i/2))}\bigg]\)

蔡家雄

先由我设想，后由 Treenewbee 验证，以下成立，

卢卡斯序列
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,（质数）
L3=97,（质数）
L4=18817,（合数）
L5=708158977,（质数）
L6=1002978273411373057,（合数）

设想：10是卢卡斯序列中30k+7型质数(7, 97, 708158977 )的原根。

后一项 是 前一项的平方，再减2，
7，47，2207，4870847，......
设想：10是此序列中 质数(7, 47, 2207 )的原根。


后一项 是 前一项的平方的2倍，再减1，

13，337，227137，103182433537，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337，

设想：10是此序列中30k+7型质数(337，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337 )的原根。


后一项 是 前一项的平方，再减2，

257,  66047,  4362206207,  19028842992389326847,

设想：10是此序列中 质数(257,  66047,  4362206207 )的原根。

后一项 是 前一项的平方，再减2，

233, 54287, 2947078367, 8685270901239386687, 75433930627915628254433095959912835967,

设想：10是此序列中 质数(233, 54287, 75433930627915628254433095959912835967 )的原根。

蔡家雄

先由我提出问题，后由 Treenewbee 编程计算，祝 Treenewbee 取得更多成果 ！

【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P, A, B, C 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合，由 Treenewbee 程序计算，

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]


【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ?  由 Treenewbee 程序计算，

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

( 2833 , 3, [450, 2001, 2446], [744, 2001, 2428], [1362, 2001, 2302])
(19081, 3, [7516, 9033, 17952])
(30941, 3, [7795, 23015, 25691])
(15187, 3, [6960, 7275, 14062])
(24197, 3, [2621, 16408, 21350])
(26647, 3, [14304, 19294, 20655])

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3

蔡家雄

先由我提出：用待定系数法破解三次幂和恒等式，

再由 Treenewbee 完美解答，祝 Treenewbee 取得更多成果 ！

蔡家雄

\(2*n^3+((6n)k^2)^3+((6n)k^3 -n)^3=((6n)k^3+n)^3\)


方程：\((b+1)^3+(b+2)^3+.....+(b+a)^3=p^3\)（b,a,p为自然数)有无穷解。

证：当a为立方数时，即\(a= i^3\)时，可求得\(b=( i^4-3i^3-2i^2-2)/6；p=(i^5+i^3-2i)/6\)。

易见，当i=3k时，方程无解；

当i=3k±1时，方程有解，从而原方程有无穷解。

例：当i=5,即a=125时，\(34^3+35^3+……+158^3=540^3\)

当i=10，即a=1000时，\(1134^3+1135^3……+2133^3=16830^3\)

当i=11,即a=1331时，\(1735^3+1736^3……+3065^3=27060^3\)

Treenewbee

cz1 发表于 2023-2-17 22:15
一条龙素数！！！！！！！！！！

223

{113,223,227,229,331,337,443,449,557,661,773,881,883,887,1117,2221,3331,4441,4447,5557,6661,8887,11113,11117,11119,22229,33331,44449,77773,88883,111119,333331,333337,444443,444449,555557,666667,888887,3333331,11111117,11111119,22222223,33333331,55555553,55555559,66666667,88888883,111111113,222222227,444444443,666666667,777777773,888888883,888888887,4444444447,5555555557,6666666661,11111111113,22222222223,44444444441,66666666667,444444444443,555555555551,555555555559,777777777773,888888888887,5555555555551,7777777777771,22222222222229,88888888888889,222222222222227,555555555555557,777777777777773,888888888888883,11111111111111119,88888888888888889,222222222222222221,333333333333333331,555555555555555559,666666666666666661,1111111111111111111,8888888888888888881,44444444444444444447,66666666666666666667,77777777777777777771......}

Treenewbee

1. Select[Sort@
   
2.   Flatten@Table[
   
3.     a*(10^b - 10)/9 + c, {a, 1, 9}, {b, 3, 20}, {c, 1, 9}],
   
4. PrimeQ[#] &]

复制代码

{113,223,227,229,331,337,443,449,557,661,773,881,883,887,991,997,1117,2221,3331,4441,4447,5557,6661,8887,11113,11117,11119,22229,33331,44449,77773,88883,99991,111119,333331,333337,444443,444449,555557,666667,888887,3333331,9999991,11111117,11111119,22222223,33333331,55555553,55555559,66666667,88888883,111111113,222222227,444444443,666666667,777777773,888888883,888888887,4444444447,5555555557,6666666661,11111111113,22222222223,44444444441,66666666667,444444444443,555555555551,555555555559,777777777773,888888888887,5555555555551,7777777777771,22222222222229,88888888888889,222222222222227,555555555555557,777777777777773,888888888888883,11111111111111119,88888888888888889,99999999999999997,222222222222222221,333333333333333331,555555555555555559,666666666666666661,1111111111111111111,8888888888888888881,44444444444444444447,66666666666666666667,77777777777777777771}