谈谈理发师悖论

门外汉

理发师在告示中宣称：我只给村子里所有不给自己理发的人理发。
于是理发师的麻烦来了：他该不该给自己理发呢？如果他给自己理发，那么他就是属于“村子里给自己理发的人”，按规定他不能给自己理发；而如果他不给自己理发，他就是属于“村子里不给自己理发的人”，按规定他就应该给自己理发。
如何破解理发师悖论，成为了逻辑学界的一大难题。
其实这个悖论非常的好破解，因为理发师做出来的只不过是一个“无意义的规定”。
破解这个悖论之前，首先要严格的规定：什么叫做“给自己理发的人”，什么叫做“不给自己理发的人”。
所谓的“给自己理发的人”就是指：但凡理发，一定要自己给自己理，从来不要别人给他理发。这样的人，称为“给自己理发的人”。
所谓“不给自己理发的人”就是指：但凡理发，一定要让别人（理发师）来给他理，自己从来不给自己理发。这样的人称为“不给自己理发的人”。
我们将“给自己理发的人”称为A类人，将“不给自己理发的人”称为B类人，由定义便可知，A类人是从来不找理发师给他理发的，而B类人是从来都找理发师给他理发的。
现在理发师帖出告示：不给“给自己理发的人”（A类人）理发，只给“不给自己理发的人”（B类人）理发，这个告示也相当于是说：如果你来找我理发，我就给你理发；如果你不找我理发，我就不给你理发。
换一句话来说就是：“我不给秃子理发（因为秃子从来不需要理发），只给长头发的人理发”。
那么，理发师的告示还有何意义可言？

elimqiu

还是有给自己理过发，但也让他人给自己理发的人的。
为什么说这个悖论等价于罗素悖论？

门外汉

[这个贴子最后由门外汉在 2011/02/19 06:23pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/02/18 07:19pm 发表的内容：
还是有给自己理过发，但也让他人给自己理发的人的。
为什么说这个悖论等价于罗素悖论？

我认为理发师悖论不等价于罗素悖论，因为二者之间的结构并不相同。
如果说给自己理发，也让他人给自己理发，那么理发师悖论就没有什么悖论可言了。理发师可以给村子里的任何一个人理发，包括理发师自己。

changbaoyu

罗素公理体系与罗素悖论
罗素悖论产生的原因，是把真类当成集合。可以说，罗素公理体系在两方面避免罗素悖论：第一，不存在包含自身的集合（包含自身的类是真类）。第二，“所有”集合的总体不是集合！而是一个真类。因为“所有”一词，包含了自身。以书目悖论为例，根据罗素公理体系，所有符合条件的书的确构成了一个集合，因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体（集合的定义）--比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书（类）。问题“这本书要记下自己的书名吗？”，即是，它包含自己吗？已经没有回答的意义。因为根据内涵定义，不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书（也有人认为那是一个非法的集合，一个集合要包含自身，但又要和集合内其它元素相区别，是不可能的）。但注意，这一抽象概念却是存在的，它是一个真类。在理发师悖论里，理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法：“除了我理发师本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合（根据声明，他不在自己定义的服务群里）。注意：罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论，并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出，是保证不产生悖论，又要求这些公理的范围足够宽，能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/02/20 11:26am 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2011/02/19 06:22pm 发表的内容：
我认为理发师悖论不等价于罗素悖论，因为二者之间的结构并不相同。
如果说给自己理发，也让他人给自己理发，那么理发师悖论就没有什么悖论可言了。理发师可以给村子里的任何一个人理发，包括理发师自己。

罗素悖论是纯粹的逻辑问题，如果把理发师悖论也看成是纯粹的逻辑问题，那么，两者在“悖”的本质上是相通的。
不同的是，理发师悖论还可以看成现实问题，不过，像“我只给村子里所有不给自己理发的人理发”这样刚硬的规定，虽然符合人们的约定俗成，但在现实中很难完全实现，总有人会违犯这个规定的。比如，有些人有些时候到外面去理发，你奈他何？

changbaoyu

罗素公理体系的提出，是保证不产生悖论，又要求这些公理的范围足够宽，能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。
在理发师悖论里，理发师其实【划出了一个真类】。如果理发师修改一下自己的说法：“除了我理发师本人之外，我给所有不给自己理发的人理发”，悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合（根据声明，他不在自己定义的服务群里）。

ysr

最初的集合学确实存在这样的悖论,用罗素公理或其他方法修改后就可避免,使理论能很好的应用,理发师的规定好象隐含不包括自己的条件,不算悖论

门外汉

下面引用由ysr在 2011/02/20 01:58pm 发表的内容：
最初的集合学确实存在这样的悖论,用罗素公理或其他方法修改后就可避免,使理论能很好的应用,理发师的规定好象隐含不包括自己的条件,不算悖论

如果修改规则，天下没有解不开的悖论

awei

[这个贴子最后由awei在 2011/02/21 06:40am 第 2 次编辑]

[color=#00008B]    好久没有发帖了，我只关心自己能看懂的问题。这个故事我也很早就听过，人们对于数学的期待太高，数学乃科学之母，数学对于一个结果的回答只能是或者不是。我个人觉得是过于片面了。人类在地球上的生活和外太空的生活同为在宇宙中生活，而两种生活的状态截然不同。而数学在有穷领域和无穷领域里解决问题的方式也必然不同。有穷领域里的数学是用传统数学和传统逻辑出发，最终得到结论。而在无穷领域里是先得出结论，再去研究过程。理发师悖论解决的思想逻辑，是用于研究无穷领域的逻辑思想。看似矛盾其实必然，我觉得这个问题很有意义。
    人类随着文明的进步，数学也在进步，有穷领域比如1+1=2，这是传统数学很好理解。在无穷领域里1+1也有可能不等于2。比如所有自然数的和是不是自然数？是自然数。当然也会有另一种结论存在：所有自然数的和不是自然数。我个人认为这就是理发师悖论的以现实为例，让我们感觉到数学在无穷领域里的逻辑思想在现实中也会遇到。
   理发师不仅扮演着理发师也扮演着村民两个角色，无论他以任何角色看待问题，他始终只是一个人。也许正是这个问题魅力所在吧？

申一言

    圣人曰：“袖里乾坤大：乾坤袖里小！”