数学归纳法中的逻辑错误

门外汉

    我们都知道：数学归纳法是高等数学中的一个极其重要的推论工具，如果没有数学归纳法，那么现在很多的数学结论都推导不出来，但是，如果在数学归纳法中存在逻辑错误，又会有怎样的结果呢？
    下面给出我运用数学归纳法所推导出来的一个矛盾命题：
     设全体正整数集合Z＝{1，2，3……n……}，Z中包含全部的正整数且有无穷多的元素，并且，Z有无穷多个子集，例如：{1，2，3}；{2，4，9}；{2，6，8，9}等这些都是Z的子集，下面，我们给出两个条件，从Z的所有子集中挑选出来符合条件的子集：
    条件1：1是该子集中的元素，
    条件2：如果该子集中的元素大于1，那么，该子集中的所有元素能够按照自然数的顺序升序排列。
    例如：子集：{1，2，3}；{1，2，3，4}，{1，2，3，4，5，6，7}，这几个子集都符合上面的两个条件，但是{2，3，4}这个子集不符合条件，因为它的元素中没有1；{1，2，5，6}也不符合条件，因为它的所有元素没有按照自然数的顺序升序排列。
   根据上面的两个条件，我们可以列举出Z的所有符合条件的子集，它们分别记为：
   K（1）＝{1}，它的基数为1；
   K（2）＝{1，2}，它的基数为2；
   K（3）＝{1，2，3}，它的基数为3；
    ……
   K（n)＝{1，2，3……n},它的基数为n；
   ……
   我们知道：Z是Z的子集，并且Z的所有元素符合上面的两个条件，所以Z属于上述所有符合条件的子集之一，我们将它记为K（Z）＝{1，2，3……n……}，并且根据定义，我们可以知道k(Z）一定是符合所有条件的子集中基数最大的一个子集。
   我们将上述所列举的所有符合条件的子集称为Z的升序子集。
   现在将Z的所有子集按照基数从小到大的顺序构成一个集合F＝{K（1），K（2），K（3）……K（n）……K（Z）}，F中包含有Z的所有升序子集。
   现在给出来一个求证的命题：F的所有元素的基数全都是有限的，我们将运用数学归纳看一看这个命题能不能求证出来：
   根据数学归纳法：首先验证F的第一个元素K（1），因为K（1）＝{1}，它的基数为1，所以它的基数是有限的；
   根据数学归纳法：我们验证F中的任意一个元素K（n),因为K（n)={1,2,3……n}，它的基数为n,因为自然数中的任意一个自然数都是有限的，所以K（n)的基数也是有限的；由此我们推论元素K（n+1)的基数也一定是有限的。
   所以，根据数学归纳法，因为K（1）的基数是有限的，并且当K（n)的基数是有限的可以证明K（n+1)的基数也是有限的，所以可以得出结论：F中的所有元素的基数全都是有限的。
   因为F中的所有元素的基数是有限的，并且K（Z）是F中的一个元素，所以K（Z）的基数也是有限的。
   又因为K（Z）＝Z，所以Z的基数也是有限的。
   但我们知道Z的基数是无限的，而由数学归纳法推导出Z的基数是有限的，这里便出现了矛盾。由此说明数学归纳法是存在逻辑错误的。
   

elim

主贴反映楼主或者不清楚归纳法，或者使用归纳法不当。建议精简文字，数学化陈述，以便自己发现问题。

门外汉

elim 发表于 2017-2-2 04:58
主贴反映楼主或者不清楚归纳法，或者使用归纳法不当。建议精简文字，数学化陈述，以便自己发现问题。

谢谢，知道问题出在哪了。

数想记

数学归纳法是可以用逻辑证明的！数想记有详细证明！楼主证明有误！

门外汉

这个帖子可以废掉了，没有再讨论的意义了