翻版的无穷旅馆悖论（找找有没有逻辑错误）

门外汉

据说大数学家希尔伯特为了形象的说明“无穷+1＝无穷”这个问题，曾经讲了一个叫无穷旅馆的小故事，故事的内容是这样的：有一个无穷旅馆，里面有无穷多的房间，并且住了无穷多的人，每一个房间全都住满了，没有空闲的房间，但又来了一位客人，一定坚持要在无穷旅馆中住下，于是聪明的老板想了一个绝妙的方法，让新来的客人住进1号房间，而1号房间的客人住进2号房间，2号房间的客人住进3号房间……，于是，所有的人全都有了房间。
这个故事刚一看感觉挺荒唐，但如果你学了数学中的极限理论，便知道这故事中的逻辑是天衣无缝，无可辩驳的。
现在我将这个小故事稍做一下修改，看一下还会出现有什么样“奇妙”的现象出现：
假设还是那个无穷旅馆，它最开始的房间全都是空着的，门外有无穷多的客人排队等着住进旅馆，开始了：第一位客人住进了一号房间，第二位客人住进了二号房间，第三位客人住进了三号房间……所有的客人一个接一个的按顺序全都住进去了，所有的房间全都住满了，于是，旅馆中有无穷多的旅客。
第二天，旅客又排着队一个接一个的走了，走了一个人，剩下旅客的数量还是无穷多的，走了两个人，剩下的旅客的数量还是无穷多的，走了三个人，剩下旅客的数量还是无穷多的……（谷堆悖论又发威了！）
所以，我们可以得出结论：无论走了多少人，旅客的数量都是无穷多的，所以：旅馆中的旅客全都走了，旅客的数量还是无穷多的？
哦不对，旅客全都走了，旅客的数量应该是0啊，怎么能是无穷多呢？
问题是：旅客是一个接一个陆续的走的，什么时候旅馆中只剩下10个旅客呢？显然没有只剩下10个旅客的情况，也同样没有只剩下1个旅客的情况，在这一过程之中，只能存在两种情况：剩余旅客的数量要么就是无穷多的，要么就是0.
如果你要问：哪一个旅客是最后离开的？千万别问这样的傻问题，因为你绝对不知道哪一个旅客是最后离开的。
现在我们回顾一下旅客入住旅馆时的全过程：旅馆中最初的旅客数量为0，然后，从入住进第1位客人开始到第n位客人，旅客的数量是有限的，当房间全都住满时，旅客的数量是无穷，它的过程为0——有限——无限。
再来看一下旅客离开旅馆时的全过程，它的过程为：无限——0，也就是缺少了中间的一环：有限，整个过程中不存在剩下旅客的数量为有限的情况，所以，剩下的旅客的数量要么就是无限，要么就是0，当你问什么时候只剩下最后一个旅客的时候，回答是：没有这样的情况出现。
但，旅客明明是一个接一个的走的啊……
我们直觉上会感觉这件事情很古怪，很不可思议，总有一种智商被戏耍的感觉，但是，数学家给的证明绝对是严密无误的，所以，我们只能无奈的接受智商被人肆意践踏的无情事实。

elimqiu

门外汉是想说，从无穷集删去有限集所剩还是无穷集这个命题蕴菡无穷集删去全部元素后结果还是无穷集．他的根据是数学归纳法．可惜他实在是不懂归纳法．让我来试试帮他一下：【设有一个关于自然数n的命题P(n), 如果P(m)真, 并且从P(k)对某k真可推出P(k+1)真，则P(n) 对一切不小于m的整数皆真．】这就是归纳法原理的一般形式．

如果门外汉认为其怪论可用归纳法证之，那么他的P(n)该作如何陈述？归纳法的结果跟门外汉的怪论有什么逻辑关系．

门外汉

这个帖孑没有用数学归纳法

门外汉

elimqiu 发表于 2017-2-2 09:01
门外汉是想说，从无穷集删去有限集所剩还是无穷集这个命题蕴菡无穷集删去全部元素后结果还是无穷集．他的根 ...

这个帖子没有用到归纳法，这个帖子主要还是讲一下希尔伯特无穷旅馆中的数学思想，当然，希尔伯特先生所讲述的无穷旅馆，它的逻辑是天衣无缝，无可辩驳的；至于我盗版改编之后的无穷旅馆，这里面究竟有没有逻辑错误，我自己检查了一下，好像是没有，但我说的话不是绝对的，也就是说；如果您看出来了我的逻辑中有什么错误，请您指出来，十分感谢。

数想记

无穷是物理事件无法完成的！你却说能！

门外汉

无穷不是物理事件。

elimqiu

楼主的论说的确没有用到归纳法．抱歉我一贴不恰当地多用了．
因为自然数均有限而自然数的“个数”非有限(即自然数集是无穷集，请注意这是事实而不是逻辑矛盾)，从自然数集删去前有限个自然数的结果不会改变所剩集合的无穷性．如果这种依次删除到了某一步，假设是第n步后所剩变成单元集，那么这个集只能是｛n+1}，于是自然数全体就是有限集，最大自然数便存在，然而这些都与自然数的本质矛盾，任何自然数因小于其后继而不是最大的，任何有限删除穷竭不了自然数集．无穷次操作不是有限操作的有限叠加，而是本质上完全不同的操作，其结果可能没有渐进性，可能是一个飞跃．

无穷操作的结果是逻辑地确定的，{1/n} 的每项均大于0，其极限却等于0，从这里也看出无穷过程的结果未必在任何有限步达到．由于人的感性经验都是从有限操作来的，对无穷操作的结果感到难以理解或接受是很自然的．放下有限经验的包袱，更多地操练无穷性思辩，是可以建立无穷操作的体验和直觉的．至少在观念层次上是如此．最终说话的是理性而不是智商．

无论实，潜无穷均没有实践基础或依据．它们都是观念，思辩的产物．然而现代数学的最大成就都与对无穷的研究有不可分割的关联，以至于希尔伯特干脆称数学就是关于无穷的学科．虽然全部“悖论，怪论”都与无穷有关，现代主流数学并不认为撇弃无穷是正道．关于悖论的研究没有停止，但实无穷不可避免地导至数学危机的说法巳经失去了数学基础研究主流的认同．所以有效的悖论研究应该基于对数学基础最新发展的了解和学习上．

jzkyllcjl

需要强调的是：符号“∞（非正常理想实数）有一些非正常的应用。例如：”在数学分析中的使用有两种意义。一种是作为极限值使用时，它是常量性无穷大、理想无穷大，是一个假无穷；第二种意义，是作为不定式中的符号使用时，它是一个无穷数列，是动态性的、变量性的无穷大，是真正存在着的无穷大；也可简称为动态性的真无穷大，但这个动态性的真无穷数列中的数只能取有限数。常量性无穷大与变量性无穷大之间也存在着相互依赖的对立统一关系。符号“∞”的这两种意义与这种无穷大相互依赖关系与是必须注意的。例如，虽然可以说数列{n} 、{2n】 、{2^n} 的极限都是∞ ，但又可以认为这三个∞ 是不同的，并且可以研究他们的比值。而且当研究他们的比值或相减时，就需要从原来的数列（动态的无穷大）着手进行不定式∞/∞或 ∞-∞的计算。再如，现在数学理论中使用符号（-∞，+∞）表示实数集合，这里就含有+∞大于一切正实数的意义，但是又必须知道不存在大于一切正实数的数。关于无穷大的这种性质、意义与使用方法，就是《简明哲学辞典》所说的“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确地反映现实”的辩证逻辑方法。这个意义与方法也是形式主义者无法理解的意义与方法。恩格斯在《反杜林论》中也说过“无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”。 进一步分析，这个矛盾、这个不正常性质、这个概念的变动性就是“无限与有限、理想与现实”之间的相互依存的对立统一性质的矛盾；对立统一法则又是唯物辩证法的最根本的法则。“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾，没有矛盾就没有世界”。这样一来，唯物辩证法就是建立数学理论的根本法则。许多问题都不是一句话就能彻底解决的；反复的、深入地辩证逻辑方法是必要的，前边对伽利略问题的反复讨论就是如此，连续统假设的大难题的研究与解决也是如此。

elimqiu

jzkyllcjl 强调其畜生不如，决不能翻转其书泡汤的局面．