球与花瓶悖论揭露无穷中的逻辑错误

门外汉

球与花瓶悖论是一个不太知名的小悖论，但这个小悖论的意义却十分重大，因为它暴露出了无穷理论中的一个致命的逻辑错误。
先讲一下这个悖论的具体内容：
假设我们有无限个球和一个无穷大的花瓶，现在我们分别把球按照1号2号3号这样编号。第一次操作，把1-10号球放进去，然后把1号拿出来。现在盒子里还有2-10号球。第二次操作，把11-20号球放进去，把2号拿出来，现在有3-20号球，以此类推操作下去。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？
对于这个问题：首先我们给出一个正确的答案：花瓶里没有球。
这个答案看起来很荒唐，因为每次都增加了 9 个球，无限次之后，当然有无限个球了，怎么能没有球呢，因为：第n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了，因此无限操作下去，每个球都会被取出来，所以花瓶里没有球。
而且，这个解释看起来是没有任何逻辑错误的。
但其实，这里面并不是没有逻辑错误，而是这个逻辑错误很隐蔽，下面我来给解释一下：
有人或许会说：这个过程需要耗费无穷的时间，我们不可能等到那个时候。所以，我将这个题目做一下变换，让这无穷次的操作过程在1分钟内完成：第1/2分钟，进行第一次操作，第3/4分钟，进行第二次操作，第7/8分钟，进行第三次操作……这样，无穷的过程在一分钟时操作完成，而且，这样的操作和原题目的操作是等效的。
这样，逻辑漏洞就彻底暴露出来了：因为，在时间还没到达1分钟之前，放进瓶子里的球一定是有限的，只有当时间到达1分钟时，放进瓶子里的球才是无限的。
所以，在时间到达1分钟之前，我们不去考虑瓶子里究竟还有多少球，我们只考查1这个时间点的操作，根据要求，在这个时间点需要放进10个球，而只拿出一个球，我们不管瓶子里原先还剩下多少球，但在1分钟的时间点上，瓶子里最少还剩下9个球，所以瓶子里球的数量不会是0.
但如前面所说：编号为n的球在第n次操作被拿出来了，无论n是几。所以，哪个编号的球都不在花瓶里。这个解释在现在的数学极限理论中是没有逻辑错误的，但是，我们从上面推论出了盒子里球的数量一定不会是0，所以，这只能说明：现在的数学极限理论是错误的。

elimqiu

当楼主谈到耗时操作的时候，有没有想过这个无穷操作需要无穷长的时间，所以任何操作者在任何大于一分钟的时间段内所看到的情况是该瓶中的球数的持续增长．

不过数学是不涉及时间的．这件事怎么強调都不过分．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-2-3 11:32
当楼主谈到耗时操作的时候，有没有想过这个无穷操作需要无穷长的时间，所以任何操作者在任何大于一分钟的时 ...

按题目，操做是在1分钟的时间里完成的，所以没有大于1分钟的时间段。我想你真正想要说的是不是：在小于一分钟的时间段内所看到的情况是这瓶中的球数是持续增长的？

elimqiu

如果全部操作恰在一分钟内完成，那么在一分钟不到的时侯所看到的是球数持续增长，而一分钟后瓶中无球．这件事的确不可思议，但因为一分钟内完成这种操作本来就不可思议，只好见怪不怪了．

Ysu2008

楼主似乎还没有真正理解 “ε-δ语言”，等你对“ε-δ语言”顿悟以后就不会有这些疑问了。

elim

有两点需要明确：
(1) 楼主无法定义结束与一分钟那一时刻的操作. （1/2, 2/3,...., n/n+1 这些时刻中不包括 1.）
(2) 楼主没有集合序列极限的确切概念，而所谈论的‘全部操作结果’其实只能由集列极限的定义严格给出。

elim

大家不妨看看上贴究竟可以对楼主作何驳斥，我有时间会再回到这个主题。

门外汉

Ysu2008 发表于 2017-2-3 18:06
楼主似乎还没有真正理解 “ε-δ语言”，等你对“ε-δ语言”顿悟以后就不会有这些疑问了。

能否请您用ε-δ语言来对这个问题（球与花瓶问题）进行解释，我想看一下您的解释究竟有没有逻辑错误。

门外汉

elim 发表于 2017-2-3 20:05
有两点需要明确：
(1) 楼主无法定义结束与一分钟那一时刻的操作. （1/2, 2/3,...., n/n+1 这些时刻中不包 ...

首先，我们能达成一个共同一致的观点：在时间小于1分钟的任意一个时刻里，瓶中的球都是持续增加的，但用这一点，是无法证明最终的结论是瓶中的球数是无限多的，因为只要是时间还没达到1分钟，这个操做的过程就没有结束（这一点也是能达成一致的共识的），只要是操做的过程不结束，就不能最终给出结论来，所以，只有在1分钟这个时间点上，所有的操做才会全部结束，才能最终给出结果。
但根据我做出来的结论，在1分钟的这个时间点上，瓶中的球数绝不会是0.
而根据现有的无限理论来解答这个问题，它的答案一定是0.这便是矛盾之处。
所以，只能说明：要么我的解法是错误的，要么现有的无限理论是错误的。
如果我的解法是错误的，那请明确的指出来，究竟哪里错了？

任在深

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