已知 f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2 有两个零点，求 a 的取值范围，证明两个零点之和小于 2

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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用几何画板作图后大概a取值范围是(0,+无穷）。

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解决了一部分

angel_phoenix88

解决第一个问题
f(x)的一阶导数=(x-1)(e^x+2a)
很显然x=1是f(x)的一个极值点
已知f(0)=a-2
f(1)=-e
f(+∞)=+∞

1)很显然a≥2时，有两个解，分别在(0,1)和(1,+∞)之间
2)0<a<2,f(-∞)=+∞，两个解在(-∞,1)和(1,+∞)之间
3)a=0,唯一解x=2
4)a<0,多出一个极值点x=ln(-2a)，两个极值点，必然一个极小，一个极大。
由于f(-∞)=-∞，f(+∞)=+∞，要想有两个解，必须满足f(ln(-2a))≥0且a＞-e/2(ln(-2a)<1)，
但是把极值点e^x=-2a代入f(x)得出f(x)=a(x-1)(x-3),在a<0以及ln(-2a)<1时，这个表达式<0，也就是极大值也小于0,只能有一个解在(1,+∞)，因此a＞0

第二个问没想出怎么解决

luyuanhong

谢谢楼上 11111qqqq  和 angel_phoenix88 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答：