设 x,y,z 是不同的正整数，求 x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz 的最小值

luyuanhong

这是 elimqiu 的帖子，不知为什么删掉了，我把他的解答改头换面一下，重新贴出来：

elimqiu

谢谢陆老师。
我用的方法：不妨设 x < y < z, 于是 y = x + a, z = y + b = x + a + b,
其中 a, b 是正整数。 代人原式得
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz -zx = a^2 + ab + b^2 ≥ 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3
陆老师的方法其实给出了更多。原式 x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz -zx 叫作一个三元二次型， 将它表成 (1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2} 是说这个二次型是半正定二次型（其值恒非负）。所以原题的条件可以减弱： x,y,z 为两两不同的整数，那么原式的最小值是 3