欧德斯方程正整数解的一般公式

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欧德斯方程正整数解的一般公式 关永斌 、关春河 （黑龙江省龙江县发达中学 161102） 摘要：运用初等数学方法推导出欧德斯方程正整数解得一般表达公式(G)。 关键词：埃及分数 欧德斯猜想 对于埃及分数的一个特例，匈牙利数学家欧德斯于1950年提出一个欧德斯猜想[1]： 对于一切n>1的正整数，方程 4/n=1/x+1/y+1/z （1） 均有正整数解x,y,z。 显然，要解决欧德斯猜想，首先就要探讨如何求解方程（1）。经多年探索，我们得到一个定理： 定理：方程（1）正整数解的一般公式（G）表达为： n=4k+r , x=u+k+1 , y=nv(u+k+1)/A , z=nv(u+k+1)/B 其中：u≤2k +1, r<4 , k,r,u,v,A,B∈N 。且满足A≥B , A|n(u+k+1) , B|n(u+k+1) , A+B=v(4u+4-r) 证：设(x,y,z)是满足方程（1）的一个正整数解，根据正整数的有序性[2]，不妨设x≤y≤z，于是可知1/x为4/n的最大分拆项，显然，x的取值必须满足两个不等式： 4/n>1/x (2) 4/n≤3/x (3) 对于任一正整数n，一定可以唯一表达为n=4k+r，且k,r∈N，r<4。[3]由（2）可知，当u=0时，x=k+1取最小值,满足（2）成立。假如取x=k，则显然不能满足（2）成立。这样，我们就推得u的取值下限为u=0，x的取值下限为x=k+1。 同理，由（3）可以推得u的取值上限为u=2k+1，x的取值上限为x=3k+2。 所以，在方程（1）中，推得x的取值为x=u+k+1，u∈N,且u≤2k+1。 在确定了x的取值范围之后，我们对4/n进行初步的分拆，于是推得方程 4/(4k+r)=1/（u+k+1）+(4u+4-r)/(4k+r)(u+k+1) (4) 比较（1）和（4）又可以得到方程 (4u+4-r)/(4k+r)(u+k+1)=1/y+1/z (5) 为了使方程（5）的解具有普遍性，根据分数的基本性质[4]，把（5）变形为方程 v(4u+4-r)/v(4k+r)(u+k+1)=1/y+1/z (6) 显然，此时的v∈N，且v>0。而要把（6）的左式分拆为两个单位分数，根据分数的运算法则，不妨设 A+B= v(4u+4-r)/v(4k+r)(u+k+1)其分子的任一正整数分拆，于是由（6）又可得方程 A/ v(4u+4-r)/v(4k+r)(u+k+1+B/ v(4u+4-r)/v(4k+r)(u+k+1=1/y+1/z (7) 由于y和z都是正整数，显然，此时要使左式化为右式，必须满足A|n(u+k+1) , B|n(u+k+1) 。于是推得y=nv(u+k+1)/A , z=nv(u+k+1)/B。又由于y≤z，于是推得A≥B。 综上所述可知，方程（1）的任一正整数解一定可以表达为公式(G)。 反之，把由公式(G)表达的任一正整数组代入方程（1），可推得 右式=1/(u+k+1)+1/[nv(u+k+1)/A]+1/[nv(u+k+1)/B] =1/(u+k+1)+(A+B)/nv(u+k+1) =1/(u+k+1)+(4u+4-r)/n(u+k+1) =4/n=右式 所以，由公式(G)表达的任一正整数组一定是方程（1）的正整数解。 证毕。 利用公式(G)，可以求解出方程（1）的全部正整数解。例： ① 当n=2时，k=0，r=2。U只能取u=0，此时A，B的可取值有两种情况： 若取A=B=1，则推得v=1。若取A+B=2，则推得v=2。但不论取v=1或v=2，均推得 4/2=1/1+1/2+1/2。所以，4/2只有这一种分拆形式。 ② 当n=3时，k=0，r=3。U可取u=0或u=1，若取u=0,则A，B的可取值有两种情况： 若取A=B=1，则推得v=2。可推得4/3=1/1+1/6+1/6 若取A=3，B=1，则推得v=4。又推得4/3=1/1+1/4+1/12 若取u=1, 则A，B只可取A=3，B=2，推得v=1。又推得4/3=1/2+1/2+1/3。 所以，4/3只有这3种分拆形式。 ③ 当n=4时，k=1，r=0。U只能取u=0，1。 取u=0,则A，B的可取值有4种情况： 若取A=B=1，则推得v=1。若取A=B=2,则推得v=2。若取A=B=4,则推得v=4。但不论取v=1或v=2或v=4，均推得4/4=1/2+1/4+1/4。 若取A=4，B=2，则推得v=3。则推得4/4=1/2+1/3+1/6。 取u=1, 则A，B的可取只有2种情况： 若取A=B=4，则推得v=1。若取A=B=12,则推得v=3。但不论取v=1或v=3，均推得4/4=1/3+1/3+1/3。 所以，4/4只有这3种分拆形式 ④ 当n=5时，k=1，r=1。U只能取u=0，1。 取u=0,则A，B的可取值只有2种情况： 若取A=2，B=1，则推得v=1。则推得4/5=1/2+1/5+1/10。 若取A=5，B=1，则推得v=2。则推得4/5=1/2+1/4+1/20。 取u=1, 则4/5=1/3+7/15，可以进行初步分拆。但由于此时不论对A，B如何取值，都不能满足公式（G）的取值条件。所以在这种情况下，不能再对7/15完成进一步的单位分数分拆。 所以，4/5只有这2种分拆形式 …… 至此，欧德斯方程的求解问题得到彻底解决。 参考文献： [1] 汪和庆《埃及分数与法莱数列》 http://www.yangteacher.com/Html/200921235833-1.Html2004-3-18 [2]潘承洞，潘承彪，《初等数论》，[M]，北京大学出版社，1992。 [3] 胡作玄，《毕达哥拉斯到费尔马》[M]，河南科技出版社，1998。 [4] 华罗庚，《数论导引》[M]，科学出版社，1979。