广义函数的一个问题

luyuanhong · 发表于 2011-3-23 13:57

你的这个问题，确实指出了传统的标准的数学分析的一个不能令人满意之处。
对于一般学习和使用数学的人来说，特别是对于工程技术人员来说，都习惯于把 δ(x)
当作一个普通的函数来处理和使用，觉得这样很方便。
但是，按照严格的标准的数学分析的观点来看，δ(x) 不能看作是一个函数，只能看作是
一个泛函。
可是，如果真的把 δ(x) 写成泛函的形式，严格按照泛函的定义来处理和使用，对于一般
学习和使用数学的人，特别是对于工程技术人员来说，又觉得非常不方便，非常不习惯。
所以，在目前大多数的数学书中，又不得不把 δ(x) 写成普通的函数的形式。
这个矛盾，在非标准分析中可以得到很好的解决。
按照非标准分析的观点，δ(x) 可以看作是一个在定义式中包含超实数的“超实函数”。
既然 δ(x) 可以看作是函数，那么，在非标准分析中，δ(x) 当然可以写成函数的形式，
就可以很方便的作为函数来处理和使用了。

fm1134 · 发表于 2011-3-23 16:44

尽管按照非标准分析的观点，δ(x)可以看作“超实函数”，但大量的标准分析书
中也采用δ(x)的表示方法，前矛后盾，的确很令人遗憾。难道仅仅为了方便，就可以
不顾是非对错了吗？数学不是最讲求严谨的吗？

ygq的马甲 · 发表于 2011-3-23 16:53

可能的原因是，应用的结果是非常【正确】的。
换另外的话来说就是，数学的公理，目前的是不合理的

fm1134 · 发表于 2011-3-24 16:21

ygq的马甲 · 发表于 2011-3-24 17:13

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2011/03/24 08:47pm 第 1 次编辑]

附图：事物变化的基本形状（变）

上面的附图，是现实世界中的，因此不是非常严格的【垂直】
δ(x) 函数，就是上面的理想化，即非常严格的【垂直】。除【质变】点之外，其它各处是没有变化，即 δ(x)=0 ，而在【质变】点时 δ(x)=∞ ，但∫δ(x)dx =1
注：上面的数学【公理】是需要承认 R(·,·)="﹁∈" 这种【关系】类型

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