[趣题欣赏] 李政道的小题

尚九天

    1979年，李政道博士访问中国科技大学时，给少年班的大学生们出过一个有趣的“猴子分苹果”的问题：
    海滩上有一堆苹果，是五个猴子的财产，它们要平均分配. 第一个猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，它便把苹果分成5堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个扔到海里，自己拿走5堆中的一堆. 第二个猴子来了，它又把苹果分成5堆，又多了一个，它又扔掉一个，拿一堆走了. 以后每个猴子来了都是如此办理. 问原来至少有多少个苹果？最后至少剩有多少个苹果？

GLYZHJ

原来3906个，最后剩4个。

luyuanhong

下面引用由尚九天在 2011/03/24 01:17pm 发表的内容：
1979年，李政道博士访问中国科技大学时，给少年班的大学生们出过一个有趣的“猴子分苹果”的问题：
    海滩上有一堆苹果，是五个猴子的财产，它们要平均分配. 第一个猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，它便把苹果分成5堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个扔到海里，自己拿走5堆中的一堆. 第二个猴子来了，它又把苹果分成5堆，又多了一个，它又扔掉一个，拿一堆走了. 以后每个猴子来了都是如此办理. 问原来至少有多少个苹果？最后至少剩有多少个苹果？

如果允许苹果的个数是负数，那么这个问题还有一个非常奇妙的答案：-4 个苹果。
设想这些猴子一共欠别人 4 个苹果，所以它们的共同财产是 4 张欠条，每张欠条上欠别人 1 个苹果。
第一个猴子来到，看见 4 张欠条不能平均分配，就再去向别人借 1 个苹果，然后把这个苹果扔进海里。
这样一来，就有了 5 张欠条，可以平均分配，于是这个猴子就拿了自己应该分到的 1 张欠条，走掉了。
第二个猴子来到，看见还是 4 张欠条，就像第一个猴子一样处理，借一个苹果，扔进海里。
这样一来，4 张欠条又变成 5 张欠条，第二个猴子又拿了自己应该分到的 1 张欠条，走掉了。
……
这样，不管来多少个猴子，每次它来到时看见的都是 4 张欠条，它走后留下的也总是 4 张欠条。
是不是很奇妙?

luyuanhong

这个问题的标准解法是：
设最初的苹果个数是 X ，经过 5 轮分配后剩下的苹果个数是 Y 。则有方程式
    (((((X-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5=Y  。
化简后得到
    1024 X - 8404 = 3125 Y 。
问题是要求这个方程的整数解。
容易看出，如果 X=X0 ，Y=Y0 是这个方程的一组特解，那么，这个方程的任何一组整数解都可以表示成下列形式：
    X=3125*k+X0 ，Y=1024*k+Y0 （其中 k 是任何整数）。
从楼上的分析，我们发现 X=-4 ，Y=-4 是这个方程的一组特解，所以，这个方程的一般解可以表示为
    X=3125*k-4 ，Y=1024*k-4 （其中 k 是任何整数）。
特别，k=1 时，就有 X=3121 ，Y=1020 。

尚九天

下面引用由luyuanhong在 2011/03/24 11:05pm 发表的内容：
如果允许苹果的个数是负数，那么这个问题还有一个非常奇妙的答案：-4 个苹果。
设想这些猴子一共欠别人 4 个苹果，所以它们的共同财产是 4 张欠条，每张欠条上欠别人 1 个苹果。
第一个猴子来到，看见 4 张欠条　...

下面引用由luyuanhong在 2011/03/24 11:25pm 发表的内容：
这个问题的标准解法是：
设最初的苹果个数是 X ，经过 5 轮分配后剩下的苹果个数是 Y 。则有方程式
   (((((X-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5-1)*4/5=Y  。
化简后得到
   1024 X - 8404 = 3125 Y 。
问题是要求这个方程的整数解。
容易看出，如果 X=X0 ，Y=Y0 是这个方程的一组特解，那

    谢谢陆教授！
    您给出的“-4”之解，令尚九天大开眼界。
    再次 谢谢陆教授！

ysr

传徐悲鸿的画,谢谢!

尚九天

下面引用由ysr在 2011/03/25 01:26pm 发表的内容：
                        传徐悲鸿的画,谢谢!

    谢谢！  “喜上眉梢”，献给陆教授！
                 (梅)

尚九天

如果是 n只猴子，扔掉 k个苹果，会怎样呢？   

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/03/27 07:25am 第 4 次编辑]

下面引用由尚九天在 2011/03/27 04:18am 发表的内容：
如果是 n只猴子，扔掉 k个苹果，会怎样呢？

题  海滩上有一堆苹果，这是 n 个猴子的财产，它们要平均分配。第一个猴子来了，它左等右等
别的猴子都不来，它便把苹果分成 n 堆，每堆一样多，还剩下 k 个，它把剩下 k 个扔到海里，
自已拿走了 n 堆中的一堆。第二个猴子来了，它又把苹果分成 n 堆，又多了 k 个，它又扔掉 k 个，
拿 n 堆中一堆走了。以后每个猴子来了都如此处理。问：原来至少有多少苹果？最后至少有多少苹果？
解  如果允许苹果的个数是负数，那么这个问题有一个非常奇妙的答案：-(kn-k) 个苹果。
设想这些猴子共欠别人 kn-k 个苹果，它们的共同财产是 kn-k 张欠条，每张欠条上欠别人 1 个苹果。
第一个猴子来到，看见 kn-k 张欠条不能平均分配，就再去借 k 个苹果，然后把这 k 个苹果扔进海里。
这样一来，就有了 kn 张欠条，可以平均分配，于是这猴子就拿了自己应分到的 k 张欠条，走掉了。
第二个猴子来到，看见还是 kn-k 张欠条，就像第一个猴子一样处理，借 k 个苹果，扔进海里。
这样一来，kn-k 张欠条又变成 kn 张欠条，第二个猴子又拿了自己应该分到的 k 张欠条，走掉了。
……
这样，不管来多少猴子，每次它来到时看见的都是 kn-k 张欠条，它走后留下的也是 kn-k 张欠条。

尚九天

如果不允许苹果的个数是负数呢？ (允许苹果是酸的)