在无限取球悖论面前，集合论的逻辑在哪里？

门外汉

   假设有一个无穷大的花瓶，在花瓶中装着无穷多个球，所有的球全都用正整数一一编号，实际上这个花瓶就相当于是包含所有正整数的集合。
   现在将瓶中的球按照1，2，3……的顺序依次一个一个的从瓶中取出来，于是会有下面的推论：
  （一）：瓶中所有球的基数为阿列夫0.
  （二）：从瓶中取出1个球（1号球），瓶中剩余的球数仍为阿列夫0.
   从瓶中取出2个球（1号和2号球），瓶中剩余的球数仍为阿列夫0.
   从瓶中取出3个球（1，2，3号球），瓶中剩余的球数仍为阿列夫0.
   ……
   （三）：根据（二），可做出推论：从瓶中取出任意有限数量的球，瓶中剩余的球数仍为阿列夫0.
   （四）：根据皮亚诺公理可知，所有的正整数都是有限的正整数，不存在无穷大正整数。
   （五）：根据（三）和（四），因为所有的正整数全都是有限的正整数，所以取出任意的一个编号的球，所取出来的都是有限数量的球，所以，将瓶中的所有球全部取出来，瓶中剩余的球仍为阿列夫0.
    但这明显是错误的，因为将瓶中的所有球全部取出来，瓶中剩下的球数为0，因此有0＝无穷。
    请问上面的第（一）至第（五）条，哪一条是错误的呢？
  ............................................................
    这个悖论总结来说是这样的：瓶中装有无穷多个球，从瓶中取出一个球，剩下的球是无穷多的，从瓶中取出2个球，剩下的球还是无穷多的，从瓶中取出3个球，剩下的球还是无穷多的……所以无论从瓶中取出多少球，剩下的球都是无穷多的，所以将瓶中的球全部取空，剩下的球还是无穷多的，即0＝无穷。
   我们知道这个推论是很荒谬的，但我们要想一下，为什么会得出这种荒谬的结论来？
   从取球的全过程来看，只有两个步骤：无穷多——0.即在取球的全过程中，瓶中的球要么就是无穷多的，要么就是0，而不存在……10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0这样的过程。
   但是按照我们正常的思维，因为球是一个一个依次从瓶中取出来的，不允许一次取出多个球，所以，如果最后瓶中的球数为0，那么一定会经历……10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0这样的过程。但是在取球的全过程中却并没有出现这样的情况，而是从无穷多突然之间变为0.于是，我们当然有理由要问：为什么？
    出现了如此巨大的矛盾，集合论又是如何合理的解决这个矛盾呢？在这个问题上集合论能做到逻辑自恰吗？如果集合论不能合理自恰的解决这个矛盾，那只能说明集合论的逻辑是错误的。

elimqiu

楼主看是在谈无穷，却是无法摆脱有穷的存见．自然数无最后数，你的操作也就没有最后一举．你的每个操作的前面都只有有限次操作，所剩球都无穷多．凭什么你能推出[无穷次]操作[后]所剩球仍然无穷?

问题出在你假设无穷次操作必有一个最后操作, 而这个假定恰恰不成立．

你可能会说没有最后一个操作的操作序列是一个不能完成的操作列．这么说从人的实际经验没有錯，但这并不妨碍数学自洽地定义无穷操作序列的完成结果：有限操作结果的极限．这样的定义使得[无穷次]操作的结果有了确定的意义，不依赖本不存在的最后操作，而且不违背一切题设．

对应于所论操作序列，有一个所剩球个数的序列．其每一项都是无穷，所以其极限还是无穷．但是你没有理由把这个极限解读为无限操作的所剩，道理很简单，我们的例子证明它不是．既然这个计数极限不能按有限情形或者有最后操作的情况来解读，那么这个“数值”序列的极限与集列极限的“巨大差别就谈不上矛盾，它们毫不相干．从有限情形的相干到无穷情形的不相干也沒有什么奇怪的．这反映了无穷与有穷具有质的差别．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-9 13:44
楼主看是在谈无穷，却是无法摆脱有穷的存见．自然数无最后数，你的操作也就没有最后一举．你的每个操作的前 ...

为什么操做的全过程瓶中所剩的球要么就是无穷多，要么就是0？集合论如何自恰的解决这个矛盾？

elimqiu

门外汉 发表于 2017-3-9 14:47
为什么操做的全过程瓶中所剩的球要么就是无穷多，要么就是0？集合论如何自恰的解决这个矛盾？

对于所论全过程，集合论能够有根据地给出的判断只有两类，一类是每个操作所剩为无穷，一个是操作结果序列的极限，所剩为无有。这里没有过渡，但过渡能够对应的，逻辑上只能是非有限非无穷“次数”的操作，既然不存在既非有限，又非无穷的操作次数，所以也不存在这种过度，或者说这种过度是无法定义的。数学只能按自身的逻辑说事，这里没有过渡，但也没有矛盾.

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-9 15:06
对于所论全过程，集合论能够有根据地给出的判断只有两类，一类是每个操作所剩为无穷，一个是操作结果序 ...

既然是射线，它的另一端沒有端点，如何能形成三角形？

elimqiu

没有说它形成三角形。它形成一个角形区域(无界).

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-9 22:48
没有说它形成三角形。它形成一个角形区域(无界).

这个帖子是要求用集合论内部的逻辑来解释一下为什么将所有的球全部取空为0，却没有出现9，8，7，6，5，4，3，2，1，0这样的过程？

elimqiu

楼主看是在谈无穷，却是无法摆脱有穷的存见．自然数无最后数，你的操作也就没有最后一举．你的每个操作的前面都只有有限次操作，所剩球都无穷多．凭什么你能推出[无穷次]操作[后]所剩球仍然无穷?

问题出在你假设无穷次操作必有一个最后操作, 而这个假定恰恰不成立．

你可能会说没有最后一个操作的操作序列是一个不能完成的操作列．这么说从人的实际经验没有錯，但这并不妨碍数学自洽地定义无穷操作序列的完成结果：有限操作结果的极限．这样的定义使得[无穷次]操作的结果有了确定的意义，不依赖本不存在的最后操作，而且不违背一切题设．

对应于所论操作序列，有一个所剩球个数的序列．其每一项都是无穷，所以其极限还是无穷．但是你没有理由把这个极限解读为无限操作的所剩，道理很简单，我们的例子证明它不是．既然这个计数极限不能按有限情形或者有最后操作的情况来解读，那么这个“数值”序列的极限与集列极限的“巨大差别就谈不上矛盾，它们毫不相干．从有限情形的相干到无穷情形的不相干也沒有什么奇怪的．这反映了无穷与有穷具有质的差别．

门外汉

elimqiu 发表于 2017-3-10 15:03
楼主看是在谈无穷，却是无法摆脱有穷的存见．自然数无最后数，你的操作也就没有最后一举．你的每个操作的前 ...

取球是规定一个一个往外取球的，不允许一次取出多个球，但因为取球的全过程只有无穷多和0两个步骤，那么我只能解读为，最后一次性取出了无穷多个球，最后变成了0

elimqiu

你只能这么解读是你的事情，但并没有最后一次性这种操作。