由切线性质求曲线

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 13:09

本帖最后由 shuxuestar 于 2017-3-20 13:22 编辑

k=dy/dx=y/a;

∫dx=x;

∫dy=y;

y=ay'.

∫ydx=∫ady=ay;

ay=∫ydx.

y=1/a∫y dx.

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 13:46

解这个微分方程可以得到答案。

elimqiu · 发表于 2017-3-20 13:54

沒错．y = a y'

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 13:55

本帖最后由 shuxuestar 于 2017-3-20 15:57 编辑

这个一阶微分方程好解：
设：y=f(x);
又有：dy/dx=y/a; 设1/a=b；
dy/dx=b·y；dy/y=b·dx.
两边积分，得：
ln（y）=bx+C'，
既: (e^bx)·(e^C')=y，
y=Ce^x/a.

解答完毕。

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 13:58

y=1/a∫y dx，若a=1，这个曲线有一个有趣的性质：高等与曲线下的面积。

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 15:30

本帖最后由 shuxuestar 于 2017-3-20 16:43 编辑

（e^x）’=e^x，既y=y' .

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 16:05

本帖最后由 shuxuestar 于 2017-3-20 16:09 编辑

计算无误，但是这个题非常奇怪：

若:y=k·a^x; y'=lna·ka^x；

y=(1/lna)y'= ky’。

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 16:28

本帖最后由 shuxuestar 于 2017-3-20 16:58 编辑

计算应该没问题：

由前解：y=Ce^x/a. （C为常数）。
因a与指数函数a重复，令a=d；
y=C·e^（x/d）；

验证：
y=C（e^1/d）^x =C·a^x,
y'=C·lna·a^x.
得：y=y'/lna.

令：lna=1/d, 既y=d·y'，

方程为： y=C·e^x/d，符合题意。

所以确定方程为：y=C·e^x/d。

shuxuestar · 发表于 2017-3-20 17:27

本帖最后由 shuxuestar 于 2017-3-20 17:29 编辑

方程检验无误...............

k不等于0的实数均符合高与切线与x交点线段为d。

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