尺规作图三等分任意角

聂永庆１９３９

尺规作图三等分任意角
河北省邢台市 中钢退休高级讲师    聂永庆

命题：尺规作图三等分任意∠ＡＯＢ
            
       　
　　做图用图  图１      　　　　　　　　　　证明用图　图２

作图：（图1）
第一步　作圆弧  ；
第二步　按位作如下3个小等圆弧：
            ；
第三步　作垂线FH、GI；
第四步  由点F出发作OA边的平行线FJ，再由点G出发作OB边的平行线GK，且两平行线相交于点L；
第五步  由角顶点O出发，过点L作直线O M ， 则 ∠ＭＯＢ＝１／３∠ＡＯＢ
   
至此，尺规作图三等分任意∠ＡＯＢ 做成。


证明：（图二２　证明用图）∠ＭＯＰ＝１／３∠ＡＯＢ

第一步　以O为心过点L作圆弧 ，则
           ∠ＮＯＰ= ∠ＡＯＢ   （1）；
第二步　由点E向OA边作垂线EQ；作平行线ER且与圆弧相交于点R；再由点R向OA边作垂线RS；则
　　　　RS = EQ = GI = LT  （2）；
第三步  作圆弧 的弦长线NL；　
第四步  作半径OR并与弦长线NL垂直相交于点U；则因垂径定理而弦长线NL被二等分：ＮＵ＝ＵＬ （3）

这两条二等分弦长线ＮＵ＝ＵＬ的做出，使图2有了以下几何元素之间的关系及其证明三等分任意角成立的结论：
  　　　ＮＵ＝ＵＬ＝ＬＴ　（４）
　　　ＲＴ△ＮＵＯ≌ＲＴ△ＬＵＯ≌ＲＴ△ＬＴＯ　（５）
　　　∠ＵＯＮ＝∠ＬＯＵ＝∠ＬＯＴ＝１／３∠ＡＯＢ　（６）
　　　因为∠ＭＯＢ＝∠ＬＯＴ　（７）
　　　所以任意∠ＭＯＢ＝１／３∠ＡＯＢ成立
至此，任意∠ＡＯＢ被尺规三等分得到了证明！

寻找与怀念

聂老师您好，想向您请教一下，作图步骤中，3个小等圆弧是怎么分出来的，是用量角器吗

suzheyun

您好，请问第二步的三段小圆弧是只要保证弧长相等，具体长度任意吗

ataorj

明显错的。
网上有几何画板等软件，自己先验证验证。

聂永庆１９３９

ataorj 发表于 2019-3-31 11:37
明显错的。
网上有几何画板等软件，自己先验证验证。

您说的是要验证什么呢,能麻烦说一下具体是哪里出错了吗

聂永庆１９３９

suzheyun 发表于 2019-3-31 11:36
您好，请问第二步的三段小圆弧是只要保证弧长相等，具体长度任意吗

弧长相等即可，长度任意

ataorj

严格作图，度量下度数，明显不等于1/3

Ysu2008

∠FOB 与 α 的函数关系图象如下:


严格条件下的直尺圆规三分任意角是不可能作出的。——这是已被证明的结论。
所以，直尺圆规三分任意角只能作出近似值。

markfang2050

三等分任意角用尺规作图是不可能的.该命题也已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.@河北省邢台市 中钢退休高级讲师    聂永庆；不要做民科。