敢峰先生与我的来往信件选录（二）

雷明85639720

敢峰先生与我的来往信件选录（二）
雷  明
（二○一七年三月十五日至二十日整理）
（接上一贴）
19、2016年月12月20日敢峰先生来信：
雷明先生，看了你的≪四色猜测的最简单证明≫，特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊！我相信是成功的。无论怎么说，也是超越了前人，把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者，直接用拓扑理论和技术证明，简单明了，较易被数学界人士（特别是研究者）接受，不会认为是外行胡闹。
我是遵照拓扑原理（即我在证明中提出的七条定理），直接用演绎法（筛法）证明的，一路穷追不舍，因而只有实际演绎线路网络，辅以必要的说明附图。主图（构形）就是四色不可解线路集合（二阶图N）和证明图。整个过程我一线未加，只在必要时用隐线表示。我真希望，我们的这两个证明，能双翼辉映，使四色问题的解决终能大白于天下。
敢峰2016年12月20日
20、2016年12月21日我回复：
方老：
1、你老的信心真足，我很受感动；
2、说真的，我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的，为了自已开心，对自已的成果能否表出去，得到大家的承认，在目前的学术气分下，是没有信心的，只能待后人去评说；
    3、你是名人，影响力比我大得多，是否你可以请别人看一看我的文章，再提提意见呢。
    雷明敬上
21、2016年12月24日敢峰先生的来信：
雷明先生，≪最简单证明图≫细看还是有些麻烦。拿开始四个图的基本图中来说：1、图中外侧的两个B，如果分别换成C或D呢？2、连接最外侧的A—C和A—D线时，存在另一种可能，即B—D线和B—C线。3、图内部两侧取1B—C和3B—D时，都存在另一种选择。
网上开始有反应了吗？
敢峰12月24日
22、2016年12月24日我回复：
方老：
1、这几个图是我专门构造成这个样子的，不存在“如果…”的问题，如果这些“如果…”存在的话，那么就是任意的图了，就不是我图1中的四种情况了。我在这里主要是研究这四种情况的。别的情况坎泊已经研究了，是可约的，叫坎泊构形（K—构形），这四种情况是坎泊所没有研究过的情况，是赫渥特图型的构形（H—构形）；
    2、只要这些情况都可以转化成坎泊构形（K—构形），那么坎泊未证明的构形（漏掉了的构形）也就是可约的了。四色猜测也就是正确的了。
    3、现在一条一条回复你：
    第一条，如果把外面的两个B换成C和D：a图是可以改的，但图本身就变成了与b图相同的构形了，都有一条环形的C—D链；b图是不能改的，因为与B相邻的两个顶点就是C和D色；c图只能把左边的B改成D，右边不能改，改后又是一个与b图相同的构形，也有一条环形的C—D链；d图若改后则与c图改后的结果相同。所以你提出的第一条是不能改换的。
    第二条，你说的是把8A换成8B：这根本不可能，对于a图，c图，d图，换后等于把图中所有的A与B交换了一次，不起任何作用，仍然是原图；对于b图，交换的结果，图就变成了不存在连通的A—C和A—D链的图了，成了K—构形。这一改动就正好是解决b图的方法。所以你提出的第二条也是不能改换的。
    第三条，“图内部两侧取1B_C和3B_D时，都存在另一种选择。”不明白你的意思。我认为再没有什么选择了，1B，3B是不能变的（与其相邻的顶点已占用了A，C，D三种颜色），与其相邻的顶点C和D的相邻顶点，也已占用了另外的三种颜色，他们也是不能再换成别的颜色的。所以你提出的第三条也是不能改换的。
    雷明
24、2017年元月6日敢峰先生来信：
雷明先生，连续收到两信和图。问题是：1，你采用的是尚未经过证明的米勒图，最外圈仍为四色，其外四色仍不可解啊！2，初始的5轮图不见了，也不行啊！另外二阶图N原来是有A_B环的，在换色证明后消失了。已经上网了，能先引起讨论也好。能引起讨论就会走向成功。
25、2017年元月6日敢峰先生来信：
雷明先生，最近的来文，分析得都很好，融会贯通，条理清晰，难得啊！遗憾的是，我现在仍纠缠在图一的四个基本图上面。我总觉得它们还不是终极图。主要问题在于外圈分别增加的A—C和A—D线似不能成立，因为还存在着另一种可能不宜排除啊！还有图中B—C和B—D两条斜线的选择都存在两种可能。近来我也在集中精力试探着用直接构图法构图，夜间到两三点钟才睡。云雾中曙光已现，大有成功希望。倘问：廉颇老矣，还能战否？答曰：老牛破车，照样行路。哈哈！敢峰2017年1月6日
26、2016年元月6日我回复：
方老，你可不能这样干呀，你比我要大一轮半呀，一定要注意休息。我感到我都有点吃不消的。一定要注意休息。我希望你一定能成功，但不希望你那样的干法。我一定把你对图一的凝问给你说清楚。雷明
27、2016年元月6日我回复：
方老：
1、你对图1所提的问题我已完全明白了，图1中最外圈的A—C和A—D，原来是九点形中的两条边，即《三部曲》文中的图7中的最外圈的A—C和A—D。在这个图1中实际是没有用的，只不过是起到了把图变成极大图（即三角剖分图）罢了。
2、你的第二个问题是“还有图中B—C和B—D两条斜线的选择都存在两种可能”，我给你说一下这个图是怎么得来的你就明白了。
3、图1的几个图是在九点形图（文中图7）的基础上得来的，图7的几个图中只有b图不能同时移去两个同色B，得想办法把图7中的其他几个图都变成不能同时移去两个同色B的图，也正与你在大演绎时想办法创造不能顺利4—着色的想法是相同的。你看一看图1中的几个图是不是都成了不能同时移去两个同色B的图了呢。
4、所谓不能同时移去两个同色B，就是因为从B1交换了B—D后，产生了从顶点3到顶点5的B—C连通链，相反的，从B3交换了B—C后，也能产生从顶点1到顶点4的B—D连通链。每次交换只能移去一个B，而不能同时移去两个B。这也就是赫渥特认为他的图不能4—着色的原因（实际上，赫渥特图是可以4—着色的。该简化后就是图7，b，有一条C—D环形链，把A—B链分成了环内、环外互不连通的两部分。交换任一部分A—B链，都可以使图变成坎泊构形（K—构形）而空出一种颜色给待着色顶点V着上）。
5、构造这几个图的方法是：先在九点形图中画一个A—B环形链，同时也画一个C—D环形链（暂时互相穿过了也不要紧），然后，再给每个环形链破一个缺口，让另一条链过去，这样两条链都成了直链（道路），互不穿过。这时图就成了不可同时移去个同色B的图了。
6、构造图的原则虽是这样，但各人画图的方法可能不相同，也可能还有别的画法，我这里只是其中的一种画法。比如，你，我，张彧典，还有米勒，四个人的画法都不相同，同一个图就有四种不同的四种画法，这是因为图是拓扑性质的原因所导致的结果，是正常的现象。
7、方老还有什么凝问，尽管提出来，我一定认真的回复，不知这次的回复能不能让你满意。
雷明，2017，元，六，晚
28、2017元月7日我回复：
方老；关于图1，我还想说几句：
1、图1，a是一个有A—B环形链的图，外面的A—C和A—D有无有都无所谓，都不影响后面破链时对C—D的交换，它只起到一个使图成为极大图的作用；
2、图1，b是一个有C—D环形链的图，外面的A—C和A—D还必须要有，否则，图中就不会有A—C和A—D链的互相交叉 了；
3、图1，c和图1，d都没有环形链，A—C和C—D都是直链，图1，c中左侧的A—C有没有是无所谓的，但右侧的A—D没有却是不行的；图，d中右侧的A—D有没有也是无所谓的，但左侧的A—C没有却也是不行的。因为没有他们，图中也就不会有两条相互交叉的链了，就成了K—S构形了。
雷明，2017，元，7，早
29、2017年元月13日敢峰先生来信：
雷明先生：元月10日≪我研究四色问题的思想方法≫及13日的修改稿，很好。我非常高兴。不知能否引起讨论。对直接构图成形，过去我一直怀疑，因此采用了反向思路的演绎筛法，终于得到四色不可解线路集合的构形，使四色问题得到解决。现在我用同样思维试建直接构形，晴雨明晦，已疑似成功（19点的ADBDB图），正在仔细检验中。你的简单证明确实很好，深感遗憾的是尚非终极图，因为两边加的A—C和A—D外线排除了另一种可能。而不加也不行，仍呈ABDCB四色图形。你证明米勒图四色可解，最后一步存在同样问题，可能成功，也可能从环外出现回归的循环现象。最终证明四色问题之难，不在别的，就难在一定要找到最终构形。
刘先生确实是善于构图的，为了用他的构图法得到我的最终构形，巧妙地将两条线拉出环外，再孤立换色，不顾两条线相互间的影响变化，怎么行啊！附及。
敢峰2017年元月13日
30、2017年元月13日我回复：
方老：
1、不知你说的刘先生是谁？
2、不明白你说的终极图是什么个概念？我想是不是就是极大图呢，或者说就是三角剖分图呢？如果是我的理解的话，我认为是不必要的。
3、着色时用的是具体的图，证明时用的是构形，而构形则不是具体的图。5—轮以外有一条连通链，这条链可能就是这两个对角顶点构成的一长边，也可能是一条很多个顶点的一条链；
4、只要构形中链的结构相图的图，不管它是什么样的图，是不是极大图或三角剖分图，或者说是不是终极图，都是可以用同样的方法去解决的，所以我认为找不找、或能不能找到终极图是没有多大意义的。
5、你在构造19点形，很好，我很想知道它是个什么样子，审查好后请发过来看看。
6、为了回答你关于终极图的问题，我把我对《思想方法》一文中最后与张彧典先生交换意见部分的修改稿再发给你，你可以考虑是否须要找终极图的问题。
31、2017年元月14日敢峰先生来信：
雷明先生：
终极图一词是我提出的。原以为你一看就会明白，故未作解释。它不是极大图或三角剖分图。在这里我所说的终极图是相对外向证明说的。我为什么要提出这个概念，并认为在四色猜想证明过程中是一个极关重要的问题呢？因为从5轮图沿开始，就是受外向制约，走的是外向证明之路。如果不能转外向证明为内向证明，必然会走向无限成为无解，或者在中途作出局部证明。能转外向证明为内向证明的图就是终极图。其可以转为内向证明的标志，就是图的外圈能成为5个顶点和三种着色。这样就与5轮图沿要使4色变为3色的要求相同了，就可以将外向无限证明转变为有限的内向证明了（即在可控的范围内进行），实现了两者的完美统一。在这个范围内能证明四色猜想，则四色定理成立，否则，则四色定理不成立。为什么看来是一个很简单的四色问题，竟成为一百多年来最著名的世界数学难题之一，甚至美国数学家借助电子计算机运行1200小时都未能证明，就因为始终走的是外向证明之路啊！1992年我找到了这种终极图，证明了四色定理，最近我又在研究，深盼能再找到另外一个终极图，尚不知成功否。我深感不跨越四色陷阱和走出构图迷宫，是不能或极难成功的。
关于刘先生，我弄错了，不提了。附及。
敢峰2017年元月14日
32、2017年元月15日我回复：
方老：
1、你说说你把你的二阶N图通过“三阶最后四色可解”一步后，所得到的图是不是终极图呢。
    2、按你这次来信所说，终极图的最外圈要达到5点和3色，这不就空出了一种颜色吗，正好给与这最外的5个顶点相邻的未画出的隐藏了起来的待着色顶点着上吗。
    3、把你的二阶N图，拓朴变形后得到的另一种画法，不就是最外有五个顶点的图吗，把这个图再通过交换使得最外面成为三种颜色，这不就是5点3色吗，能不能叫做终极图呢。米勒就是这样画图的。
    4、我认为你把你的图只要进行一下拓朴变形就是一个终极图。不要再找了。
    5、你要明白图是具有拓朴性质的，是可以画成不同的方式的，所以就应该明白把待着色顶点画成显形的和隐形的都是一样的，同样都是要把与待遇着色顶点相邻的5个顶点所占用的颜色由四种变成三种，空出一种给待着色顶点着上，这就是证明。与待着色顶点画在哪里，画不画出来，是没有关系的。
雷明，2017，1，15
33、2017年元月15日敢峰先生来信：
雷明先生：你致刘景教授的信，把他提出的质疑（逻辑上的否定性意见）讲清楚了，很好。但我觉得火气大了些，无论如何不该说＂脱了裤子放屁”的话，要欢迎别人的质疑和妥善处理否定性的意见啊！特别在当前无人搭理的情势下，能引起关注和讨论就是好事。真理从来都是愈辨愈明的，而且在讨论和争论中才能引起更多关注。看来他是一位有一定造诣的研究或熟悉四色问题的内行（至少在已有的拓扑知识上比我强），希望他也能参加到讨论中来。当然，你的信也可能起到＂激将”效应，但愿如此。
敢峰2017年元月
34、2017年2月20日敢峰先生的来信：
雷明先生，看了你的≪四色猜测的最简单证明≫，特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊！我相信是成功的。无论怎么说，也是超越了前人，把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者，直接用拓扑理论和技术证明，简单明了，较易被数学界人士（特别是研究者）接受，不会认为是外行胡闹。
我是遵照拓扑原理（即我在证明中提出的七条定理），直接用演绎法（筛法）证明的，一路穷追不舍，因而只有实际演绎线路网络，辅以必要的说明附图。主图（构形）就是四色不可解线路集合（二阶图N）和证明图。整个过程我一线未加，只在必要时用隐线表示。我真希望，我们的这两个证明，能双翼辉映，使四色问题的解决终能大白于天下。
敢峰2016年12月20日
35、2017年2月20日我回复：
方老：
1、你老的信心真足，我很受感动；
2、说真的，我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的，为了自已开心，对自已的成果能否表出去，得到大家的承认，在目前的学术气分下，是没有信心的，只能待后人去评说；
    3、你是名人，影响力比我大得多，是否你可以请别人看一看我的文章，再提提意见呢。
    雷明敬上
36、2017年2月22日我回复：
方老：
我进一步考虑，十五点形还是不能用十九点形代替的，因为这样代替的结果，除了有环形链A—B的图1，b外，其他的三个图都变成了可以同时移去两个同色的坎泊构形（K—构形）了。同时我还考虑到，在十五点形中，除了在连通的A—C链和A—D链中的边可以增加顶点以外，可能十五点形中的其他边就只能是一条单边链，不能再增加别的顶点了，否则图就有可能不再是不可同时移去两个同色的赫渥特构形（H—构形）了。
雷明，2017，1，22，
37、2017年2月24日敢峰先生的来信：
雷明先生：21日发来14日文收到。初读很好。≪最简单证明≫经反向推敲，我仍是充分肯定的。由于四图是一个无缝、无漏的集合，作出的证明当然是终极证明。我之稿，在夜夜两点头昏眼花中，终于出炉。“再证”笔墨不多，加了个大尾巴（主要是直面读者），砍后仍有万余言。题为“直接构图再证四色定理＿兼答问和简论拓扑思维”。三个关键词：反求思路、终极图、拓扑思维。在答问中对先生的≪简证≫作了高度评价，并对你在今后四色征程中的作用寄予了很大期望。由于我儿子出差，拿去打印还需十天半月。敢峰2月24日
38、2017年3月15日敢峰先生的来信：
雷明先生：3月5日定稿刚取走。题为≪海岛理论与四色问题__再证四色定理兼论拓扑思维≫，约15000字。分四部分：1、四色月亮再次升上心头，2、构建理论体系，再证四色定理，3、四色姑娘（写意小剧），4答大家问。牵涉到你的，除了第一部分外，主要是在回答第五个问题＂你确信你的证明是成功的吗？是否会石沉大海？”时说的：“会不会石沉大海？从当前情况看，这是大概率，甚至是极大的概率。~~~只要有人坚持研究就好。这就是希望。据我所知，雷明就是其中一颗明亮的星。他集‘伯乐’与＇千里马’于一身，勤奋，聪明，公正，熟谙拓扑，研究四色问题已三十余年。从他近期所给出的≪最简单证明≫中，就可以看出他的厚积薄发、纵横驰骋、融会贯通的功力。我认为雷明的这个证明是成功的。他巧妙地用同一线路网络所构建的四个基本图，是一个可以互相转换的自洽构形，把所有四色可证线路与不可证线路都囊括其中，统一起来就是一个完整无缝的集合，具有终极性质。在这个集合中证明了四色定理，当然就是在终极的意义上证明了四色定理。如果要问谁是四色问题专家，举目四望，由于了解不多，我真的说不出舍他其谁在我的视野之外，当然肯定还会有的。”
另，四图两侧的补线无碍。
你的几个简短的理论证明，我未及研究，只是感到逐步减少顶点的那一个似不能成立，因为最后剩下5轮图时不能再减了，问题回到了原点。
敢峰3月15日。
39、2017年3月15日我回复：
谢谢方老。我也只是多看了一点书，多想了一点问题。我不知数学界为什么非要把四色问题看得那么神密呢，好象不用计算机，没有新的理论出现，就不能解决。他们真是钻了牛角尖了。我总感到四色问题是一个很简单的问题，越认为复杂就越无法解决了。我看解决四色问题这样的难题，还真的得要门外汉了，门外汉头脑里没有任何束缚，没有匡匡，敢想敢说，想问题是不受匡匡限制的。雷明
40、2017年3月16日我再次回复：
方老：你所提出的问题：“你的几个简短的理论证明，我未及研究，只是感到逐步减少顶点的那一个似不能成立，因为最后剩下5轮图时不能再减了，问题回到了原点。”提得好，提得对。是存在这样的问题。因为图逐步把图中度大于5的顶点去掉后，最后剩下的顶点不可能只是一个K1图，仍然可能全是一个多顶点的、但度都小于等于5的图，比如你说的那个5—轮。但并不仅仅只是如此，还有所有度全是3的四面体（K4图），十二面体以及所有的楞柱体；所有度全是3和4的三菱体；所有度全是4的四菱体；所有度全是5的正二十面体等，这些图仍然存在着一个着色的问题，还是需要再次证明的。所以我的这一证明方法还是有问题的，应丢去。雷明。2017，3，16，
41、2017年3月16日我再次去信：
方老，我把我们两人的来往信件整理了一下，可不可以发表在网上。雷明
42、2017年3月17日敢峰先生来信：
雷明先生：16日来信收到。我看可以吧。
你对米勒图的证明，第三步有可能牵连到图外另一侧的色点（从图外），第四步从图上看明显有误。你再检查一下。
米勒图是个谜。我很想了解他的思路，苦无材料。似乎是先填入、后构图证明。否则怎么会认为证明不成功却把B色填入待填色区呢？
敢峰3月17日
43、2017年3月18日我的回复：
方老：
1、你说：“16日来信收到。我看可以吧。”这是说我认为你的意见提得对是“可以”呢，还是说我想把我们的来往信件公布出来“可以”呢？
    2、你说：“你对米勒图的证明，第三步有可能牵连到图外另一侧的色点（从图外），第四步从图上看明显有误。你再检查一下。”是指那一篇文章呢，请说出文章名来，我好去检查一下。
    3、你说：“米勒图是个谜。我很想了解他的思路，苦无材料。似乎是先填入、后构图证明。否则怎么会认为证明不成功却把B色填入待填色区呢？”其实，米勒的图与你的最后那个终极图是一模一样的。只是由于图是拓朴的，画法不同而已。
    4、你对你的图的解法不是有两种方法吗，一个是在AB环内、外交换CD，使图变成可解的、可同时移去两个同色B的图；另一个是再次进行二十次大演绎，第一次得到一个仍有AB环的图，也可在这个AB环内、外交换CD，使图变成一个没有交叉链的图而可解；以后再进行演绎时，又会得到类似于你的那个终极图，也有AB环，从其内或外交换CD，都可变成可同时移去两个同色的图而可解；再进行一次演绎，又会变成类似于第一次演绎后的图，也有AB环，从其内或外交换CD，也会使图变成一个没有交叉链的图而可解。如此交换演绎下去，图总是在这两种图之间进行变化，出现了循环。
    5、在出现了循环的情况下，你把每一种情况都能进行着色，并很快的解决了问题。但米勒他就没有看到这一点，看不到每一种情况都可单独解决，总认为图中仍有两条连通且相交叉的链，是不能解决的。所以他根据他对赫渥特图演绎两次后，就变成无交叉链的情况，可以解决问题，就企图想用这种办法解决四色问题。而他的这个图无论进行多少次演绎，都仍含有交叉链，所以他就认为这个图是不可解，而放弃了他们原来想通过演绎的方法（你的这种演绎方法，他们叫做赫渥特颠倒法，其实质是一样的）解决四色问题的想法。
6、至于为什么又给其中的未着色顶点着上了B，这是后来在2010年前后，张彧典先生用他的所谓Z—换色程序（也就是你的两种方法，这我好象已经给你说过这个问题）着上的，其实还是与你的着色方法相同。
7、从你的终极图进行演绎时，总是在两种图间进行循环转化看，一个是你的终极图，一个是类似于赫渥特图的图，说明你的图与赫渥特的图是可以相互转化的，而各自都有自已的单独解决办法。这也就是你的两种方法。但米勒就看不到这一点，他就不能分别给这两种图用单独的方法进行着色。虽然两种图中都有AB环，但意义是不同的，也虽然两种图都是在AB环内、外交换CD，但交换的目的和意义也各是不同的，是根据两种图的不同解决方法而进行的交换。链名相同只是一种巧合而已。
    8、关于米勒图，你可以从网上购一本张彧典先生的《四色问题探索》小册子看看。
44、2017年3月19日敢峰先生来信：
雷明先生：3月18日信收到。
1、指通信可上网。
2、现在才知道了米勒图的B是张先生填入的，原来我还以为米勒掉进四色陷阱了。看来，米勒是清醒的、聪明的。图中的A—B环，我猜想米勒不会看不出来的，不会舍此另找破解之法。极大可能是看到外圈的5点4色与5轮图沿同，回归到了原点，等于未证，想改变又未成功，故认为此图不可解。他的图是按形成A—B环的思路构出的，但中途有误（我已发现），否则是可使外圈成为5点3色的图。但并不由此说明就是终极图，要有理由。你出于好意，认为在拓扑上米勒图同我的图是同一个图，但严格地说，是不可以的。倘拓扑翻转过来，中间同，内外两头不同。圈外成了哈密顿图，也不可能有一填色隐点能与5点4色相连，内圈也不是5轮图，而是一个极大图。两者并非拓扑同构。我的二阶图N倘你把外悬的B点作隐点拿掉，外圈在20步循环中都是5点3色。因是演绎成图，隐点和隐线都成显线了。（B点是个中间驿站，始终未改色）。
3、你对泰特定理的证明，题目好。过去我不知泰特定理，我感觉，它同四色定理是一回事。无哈密顿的泰特图是外向走向无穷大的证明，有哈密顿的泰特图是内向走向无穷小的证明。不能以此确定证明与否。它遇到的问题与直接区域填色遇到的问题一样，只是转换了形式。四色证明是一个动态问题，静态证明是不行的。希伍德是第一个在证明中跳出如来佛手掌的人，但随即又被如来佛抓住了。只有终极证明（不必非是一个终极图）才能最终跳出如来佛的手掌。理论极为重要，但不能代替实际证明。我在再证明中（文章第二部分），标题就是”构建理论体系，再证四色定理”。全文最后集中讲拓扑思维。证明本身我并不看得很重。已送出去请人打印，尚需静等。
4、我1985年的证明，与众皆不同，至今我仍持肯定态度。书中收入了。如有兴趣，可看看。凡事多一点思路好。
5、你对米勒图的证明，查找不到了，我只留下了四个图，第四图中，两个B对撞。（你是想把外圈5点4色变为5点3色。）第三步图，最后B换C时非有控调节。
敢峰3月19日
45、2017年3月20日敢峰先生来信：
雷明先生：我图与米勒图不同，最重要的一点是：B未填入V以前，米勒图内外两边都是5点4色，我图外圈是5点3色。将B色填入米勒图的V以后，消失了一个5点4色圈，造成了两图可以拓扑转换的假象。敢峰3月20日
46、2017年3月20日我回复：
方老，我把米勒，你，我和张彧典先生四个人对同一个图的不同画法都画出来了，供你参考。雷明，2017，3，20，（图略）

雷  明
二○一七年三月二十日于长安

    注：此文已于二○一七年三月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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