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敢峰先生与我的来往信件选录(二)

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发表于 2017-3-24 13:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 雷明85639720 于 2017-3-24 05:08 编辑

敢峰先生与我的来往信件选录(二)
雷  明
(二○一七年三月十五日至二十日整理)
(接上一贴)
19、2016年月12月20日敢峰先生来信:
雷明先生,看了你的≪四色猜测的最简单证明≫,特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊!我相信是成功的。无论怎么说,也是超越了前人,把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者,直接用拓扑理论和技术证明,简单明了,较易被数学界人士(特别是研究者)接受,不会认为是外行胡闹。
我是遵照拓扑原理(即我在证明中提出的七条定理),直接用演绎法(筛法)证明的,一路穷追不舍,因而只有实际演绎线路网络,辅以必要的说明附图。主图(构形)就是四色不可解线路集合(二阶图N)和证明图。整个过程我一线未加,只在必要时用隐线表示。我真希望,我们的这两个证明,能双翼辉映,使四色问题的解决终能大白于天下。
敢峰2016年12月20日
20、2016年12月21日我回复:
方老:
1、你老的信心真足,我很受感动;
2、说真的,我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的,为了自已开心,对自已的成果能否表出去,得到大家的承认,在目前的学术气分下,是没有信心的,只能待后人去评说;
    3、你是名人,影响力比我大得多,是否你可以请别人看一看我的文章,再提提意见呢。
    雷明敬上
21、2016年12月24日敢峰先生的来信:
雷明先生,≪最简单证明图≫细看还是有些麻烦。拿开始四个图的基本图中来说:1、图中外侧的两个B,如果分别换成C或D呢?2、连接最外侧的A—C和A—D线时,存在另一种可能,即B—D线和B—C线。3、图内部两侧取1B—C和3B—D时,都存在另一种选择。
网上开始有反应了吗?
敢峰12月24日
22、2016年12月24日我回复:
方老:
1、这几个图是我专门构造成这个样子的,不存在“如果…”的问题,如果这些“如果…”存在的话,那么就是任意的图了,就不是我图1中的四种情况了。我在这里主要是研究这四种情况的。别的情况坎泊已经研究了,是可约的,叫坎泊构形(K—构形),这四种情况是坎泊所没有研究过的情况,是赫渥特图型的构形(H—构形);
    2、只要这些情况都可以转化成坎泊构形(K—构形),那么坎泊未证明的构形(漏掉了的构形)也就是可约的了。四色猜测也就是正确的了。
    3、现在一条一条回复你:
    第一条,如果把外面的两个B换成C和D:a图是可以改的,但图本身就变成了与b图相同的构形了,都有一条环形的C—D链;b图是不能改的,因为与B相邻的两个顶点就是C和D色;c图只能把左边的B改成D,右边不能改,改后又是一个与b图相同的构形,也有一条环形的C—D链;d图若改后则与c图改后的结果相同。所以你提出的第一条是不能改换的。
    第二条,你说的是把8A换成8B:这根本不可能,对于a图,c图,d图,换后等于把图中所有的A与B交换了一次,不起任何作用,仍然是原图;对于b图,交换的结果,图就变成了不存在连通的A—C和A—D链的图了,成了K—构形。这一改动就正好是解决b图的方法。所以你提出的第二条也是不能改换的。
    第三条,“图内部两侧取1B_C和3B_D时,都存在另一种选择。”不明白你的意思。我认为再没有什么选择了,1B,3B是不能变的(与其相邻的顶点已占用了A,C,D三种颜色),与其相邻的顶点C和D的相邻顶点,也已占用了另外的三种颜色,他们也是不能再换成别的颜色的。所以你提出的第三条也是不能改换的。
    雷明
24、2017年元月6日敢峰先生来信:
雷明先生,连续收到两信和图。问题是:1,你采用的是尚未经过证明的米勒图,最外圈仍为四色,其外四色仍不可解啊!2,初始的5轮图不见了,也不行啊!另外二阶图N原来是有A_B环的,在换色证明后消失了。已经上网了,能先引起讨论也好。能引起讨论就会走向成功。
25、2017年元月6日敢峰先生来信:
雷明先生,最近的来文,分析得都很好,融会贯通,条理清晰,难得啊!遗憾的是,我现在仍纠缠在图一的四个基本图上面。我总觉得它们还不是终极图。主要问题在于外圈分别增加的A—C和A—D线似不能成立,因为还存在着另一种可能不宜排除啊!还有图中B—C和B—D两条斜线的选择都存在两种可能。近来我也在集中精力试探着用直接构图法构图,夜间到两三点钟才睡。云雾中曙光已现,大有成功希望。倘问:廉颇老矣,还能战否?答曰:老牛破车,照样行路。哈哈!敢峰2017年1月6日
26、2016年元月6日我回复:
方老,你可不能这样干呀,你比我要大一轮半呀,一定要注意休息。我感到我都有点吃不消的。一定要注意休息。我希望你一定能成功,但不希望你那样的干法。我一定把你对图一的凝问给你说清楚。雷明
27、2016年元月6日我回复:
方老:
1、你对图1所提的问题我已完全明白了,图1中最外圈的A—C和A—D,原来是九点形中的两条边,即《三部曲》文中的图7中的最外圈的A—C和A—D。在这个图1中实际是没有用的,只不过是起到了把图变成极大图(即三角剖分图)罢了。
2、你的第二个问题是“还有图中B—C和B—D两条斜线的选择都存在两种可能”,我给你说一下这个图是怎么得来的你就明白了。
3、图1的几个图是在九点形图(文中图7)的基础上得来的,图7的几个图中只有b图不能同时移去两个同色B,得想办法把图7中的其他几个图都变成不能同时移去两个同色B的图,也正与你在大演绎时想办法创造不能顺利4—着色的想法是相同的。你看一看图1中的几个图是不是都成了不能同时移去两个同色B的图了呢。
4、所谓不能同时移去两个同色B,就是因为从B1交换了B—D后,产生了从顶点3到顶点5的B—C连通链,相反的,从B3交换了B—C后,也能产生从顶点1到顶点4的B—D连通链。每次交换只能移去一个B,而不能同时移去两个B。这也就是赫渥特认为他的图不能4—着色的原因(实际上,赫渥特图是可以4—着色的。该简化后就是图7,b,有一条C—D环形链,把A—B链分成了环内、环外互不连通的两部分。交换任一部分A—B链,都可以使图变成坎泊构形(K—构形)而空出一种颜色给待着色顶点V着上)。
5、构造这几个图的方法是:先在九点形图中画一个A—B环形链,同时也画一个C—D环形链(暂时互相穿过了也不要紧),然后,再给每个环形链破一个缺口,让另一条链过去,这样两条链都成了直链(道路),互不穿过。这时图就成了不可同时移去个同色B的图了。
6、构造图的原则虽是这样,但各人画图的方法可能不相同,也可能还有别的画法,我这里只是其中的一种画法。比如,你,我,张彧典,还有米勒,四个人的画法都不相同,同一个图就有四种不同的四种画法,这是因为图是拓扑性质的原因所导致的结果,是正常的现象。
7、方老还有什么凝问,尽管提出来,我一定认真的回复,不知这次的回复能不能让你满意。
雷明,2017,元,六,晚
28、2017元月7日我回复:
方老;关于图1,我还想说几句:
1、图1,a是一个有A—B环形链的图,外面的A—C和A—D有无有都无所谓,都不影响后面破链时对C—D的交换,它只起到一个使图成为极大图的作用;
2、图1,b是一个有C—D环形链的图,外面的A—C和A—D还必须要有,否则,图中就不会有A—C和A—D链的互相交叉 了;
3、图1,c和图1,d都没有环形链,A—C和C—D都是直链,图1,c中左侧的A—C有没有是无所谓的,但右侧的A—D没有却是不行的;图,d中右侧的A—D有没有也是无所谓的,但左侧的A—C没有却也是不行的。因为没有他们,图中也就不会有两条相互交叉的链了,就成了K—S构形了。
雷明,2017,元,7,早
29、2017年元月13日敢峰先生来信:
雷明先生:元月10日≪我研究四色问题的思想方法≫及13日的修改稿,很好。我非常高兴。不知能否引起讨论。对直接构图成形,过去我一直怀疑,因此采用了反向思路的演绎筛法,终于得到四色不可解线路集合的构形,使四色问题得到解决。现在我用同样思维试建直接构形,晴雨明晦,已疑似成功(19点的ADBDB图),正在仔细检验中。你的简单证明确实很好,深感遗憾的是尚非终极图,因为两边加的A—C和A—D外线排除了另一种可能。而不加也不行,仍呈ABDCB四色图形。你证明米勒图四色可解,最后一步存在同样问题,可能成功,也可能从环外出现回归的循环现象。最终证明四色问题之难,不在别的,就难在一定要找到最终构形。
刘先生确实是善于构图的,为了用他的构图法得到我的最终构形,巧妙地将两条线拉出环外,再孤立换色,不顾两条线相互间的影响变化,怎么行啊!附及。
敢峰2017年元月13日
30、2017年元月13日我回复:
方老:
1、不知你说的刘先生是谁?
2、不明白你说的终极图是什么个概念?我想是不是就是极大图呢,或者说就是三角剖分图呢?如果是我的理解的话,我认为是不必要的。
3、着色时用的是具体的图,证明时用的是构形,而构形则不是具体的图。5—轮以外有一条连通链,这条链可能就是这两个对角顶点构成的一长边,也可能是一条很多个顶点的一条链;
4、只要构形中链的结构相图的图,不管它是什么样的图,是不是极大图或三角剖分图,或者说是不是终极图,都是可以用同样的方法去解决的,所以我认为找不找、或能不能找到终极图是没有多大意义的。
5、你在构造19点形,很好,我很想知道它是个什么样子,审查好后请发过来看看。
6、为了回答你关于终极图的问题,我把我对《思想方法》一文中最后与张彧典先生交换意见部分的修改稿再发给你,你可以考虑是否须要找终极图的问题。
31、2017年元月14日敢峰先生来信:
雷明先生:
终极图一词是我提出的。原以为你一看就会明白,故未作解释。它不是极大图或三角剖分图。在这里我所说的终极图是相对外向证明说的。我为什么要提出这个概念,并认为在四色猜想证明过程中是一个极关重要的问题呢?因为从5轮图沿开始,就是受外向制约,走的是外向证明之路。如果不能转外向证明为内向证明,必然会走向无限成为无解,或者在中途作出局部证明。能转外向证明为内向证明的图就是终极图。其可以转为内向证明的标志,就是图的外圈能成为5个顶点和三种着色。这样就与5轮图沿要使4色变为3色的要求相同了,就可以将外向无限证明转变为有限的内向证明了(即在可控的范围内进行),实现了两者的完美统一。在这个范围内能证明四色猜想,则四色定理成立,否则,则四色定理不成立。为什么看来是一个很简单的四色问题,竟成为一百多年来最著名的世界数学难题之一,甚至美国数学家借助电子计算机运行1200小时都未能证明,就因为始终走的是外向证明之路啊!1992年我找到了这种终极图,证明了四色定理,最近我又在研究,深盼能再找到另外一个终极图,尚不知成功否。我深感不跨越四色陷阱和走出构图迷宫,是不能或极难成功的。
关于刘先生,我弄错了,不提了。附及。
敢峰2017年元月14日
32、2017年元月15日我回复:
方老:
1、你说说你把你的二阶N图通过“三阶最后四色可解”一步后,所得到的图是不是终极图呢。
    2、按你这次来信所说,终极图的最外圈要达到5点和3色,这不就空出了一种颜色吗,正好给与这最外的5个顶点相邻的未画出的隐藏了起来的待着色顶点着上吗。
    3、把你的二阶N图,拓朴变形后得到的另一种画法,不就是最外有五个顶点的图吗,把这个图再通过交换使得最外面成为三种颜色,这不就是5点3色吗,能不能叫做终极图呢。米勒就是这样画图的。
    4、我认为你把你的图只要进行一下拓朴变形就是一个终极图。不要再找了。
    5、你要明白图是具有拓朴性质的,是可以画成不同的方式的,所以就应该明白把待着色顶点画成显形的和隐形的都是一样的,同样都是要把与待遇着色顶点相邻的5个顶点所占用的颜色由四种变成三种,空出一种给待着色顶点着上,这就是证明。与待着色顶点画在哪里,画不画出来,是没有关系的。
雷明,2017,1,15
33、2017年元月15日敢峰先生来信:
雷明先生:你致刘景教授的信,把他提出的质疑(逻辑上的否定性意见)讲清楚了,很好。但我觉得火气大了些,无论如何不该说"脱了裤子放屁”的话,要欢迎别人的质疑和妥善处理否定性的意见啊!特别在当前无人搭理的情势下,能引起关注和讨论就是好事。真理从来都是愈辨愈明的,而且在讨论和争论中才能引起更多关注。看来他是一位有一定造诣的研究或熟悉四色问题的内行(至少在已有的拓扑知识上比我强),希望他也能参加到讨论中来。当然,你的信也可能起到"激将”效应,但愿如此。
敢峰2017年元月
34、2017年2月20日敢峰先生的来信:
雷明先生,看了你的≪四色猜测的最简单证明≫,特别高兴。这真是厚积薄发、直接用拓扑理论和技术所作出的极好证明啊!我相信是成功的。无论怎么说,也是超越了前人,把四色问题的拓扑研究推到了新的高度。再者,直接用拓扑理论和技术证明,简单明了,较易被数学界人士(特别是研究者)接受,不会认为是外行胡闹。
我是遵照拓扑原理(即我在证明中提出的七条定理),直接用演绎法(筛法)证明的,一路穷追不舍,因而只有实际演绎线路网络,辅以必要的说明附图。主图(构形)就是四色不可解线路集合(二阶图N)和证明图。整个过程我一线未加,只在必要时用隐线表示。我真希望,我们的这两个证明,能双翼辉映,使四色问题的解决终能大白于天下。
敢峰2016年12月20日
35、2017年2月20日我回复:
方老:
1、你老的信心真足,我很受感动;
2、说真的,我一直是报着为解决四色问题而坚持研究的,为了自已开心,对自已的成果能否表出去,得到大家的承认,在目前的学术气分下,是没有信心的,只能待后人去评说;
    3、你是名人,影响力比我大得多,是否你可以请别人看一看我的文章,再提提意见呢。
    雷明敬上
36、2017年2月22日我回复:
方老:
我进一步考虑,十五点形还是不能用十九点形代替的,因为这样代替的结果,除了有环形链A—B的图1,b外,其他的三个图都变成了可以同时移去两个同色的坎泊构形(K—构形)了。同时我还考虑到,在十五点形中,除了在连通的A—C链和A—D链中的边可以增加顶点以外,可能十五点形中的其他边就只能是一条单边链,不能再增加别的顶点了,否则图就有可能不再是不可同时移去两个同色的赫渥特构形(H—构形)了。
雷明,2017,1,22,
37、2017年2月24日敢峰先生的来信:
雷明先生:21日发来14日文收到。初读很好。≪最简单证明≫经反向推敲,我仍是充分肯定的。由于四图是一个无缝、无漏的集合,作出的证明当然是终极证明。我之稿,在夜夜两点头昏眼花中,终于出炉。“再证”笔墨不多,加了个大尾巴(主要是直面读者),砍后仍有万余言。题为“直接构图再证四色定理_兼答问和简论拓扑思维”。三个关键词:反求思路、终极图、拓扑思维。在答问中对先生的≪简证≫作了高度评价,并对你在今后四色征程中的作用寄予了很大期望。由于我儿子出差,拿去打印还需十天半月。敢峰2月24日
38、2017年3月15日敢峰先生的来信:
雷明先生:3月5日定稿刚取走。题为≪海岛理论与四色问题__再证四色定理兼论拓扑思维≫,约15000字。分四部分:1、四色月亮再次升上心头,2、构建理论体系,再证四色定理,3、四色姑娘(写意小剧),4答大家问。牵涉到你的,除了第一部分外,主要是在回答第五个问题"你确信你的证明是成功的吗?是否会石沉大海?”时说的:“会不会石沉大海?从当前情况看,这是大概率,甚至是极大的概率。~~~只要有人坚持研究就好。这就是希望。据我所知,雷明就是其中一颗明亮的星。他集‘伯乐’与'千里马’于一身,勤奋,聪明,公正,熟谙拓扑,研究四色问题已三十余年。从他近期所给出的≪最简单证明≫中,就可以看出他的厚积薄发、纵横驰骋、融会贯通的功力。我认为雷明的这个证明是成功的。他巧妙地用同一线路网络所构建的四个基本图,是一个可以互相转换的自洽构形,把所有四色可证线路与不可证线路都囊括其中,统一起来就是一个完整无缝的集合,具有终极性质。在这个集合中证明了四色定理,当然就是在终极的意义上证明了四色定理。如果要问谁是四色问题专家,举目四望,由于了解不多,我真的说不出舍他其谁在我的视野之外,当然肯定还会有的。”
另,四图两侧的补线无碍。
你的几个简短的理论证明,我未及研究,只是感到逐步减少顶点的那一个似不能成立,因为最后剩下5轮图时不能再减了,问题回到了原点。
敢峰3月15日。
39、2017年3月15日我回复:
谢谢方老。我也只是多看了一点书,多想了一点问题。我不知数学界为什么非要把四色问题看得那么神密呢,好象不用计算机,没有新的理论出现,就不能解决。他们真是钻了牛角尖了。我总感到四色问题是一个很简单的问题,越认为复杂就越无法解决了。我看解决四色问题这样的难题,还真的得要门外汉了,门外汉头脑里没有任何束缚,没有匡匡,敢想敢说,想问题是不受匡匡限制的。雷明
40、2017年3月16日我再次回复:
方老:你所提出的问题:“你的几个简短的理论证明,我未及研究,只是感到逐步减少顶点的那一个似不能成立,因为最后剩下5轮图时不能再减了,问题回到了原点。”提得好,提得对。是存在这样的问题。因为图逐步把图中度大于5的顶点去掉后,最后剩下的顶点不可能只是一个K1图,仍然可能全是一个多顶点的、但度都小于等于5的图,比如你说的那个5—轮。但并不仅仅只是如此,还有所有度全是3的四面体(K4图),十二面体以及所有的楞柱体;所有度全是3和4的三菱体;所有度全是4的四菱体;所有度全是5的正二十面体等,这些图仍然存在着一个着色的问题,还是需要再次证明的。所以我的这一证明方法还是有问题的,应丢去。雷明。2017,3,16,
41、2017年3月16日我再次去信:
方老,我把我们两人的来往信件整理了一下,可不可以发表在网上。雷明
42、2017年3月17日敢峰先生来信:
雷明先生:16日来信收到。我看可以吧。
你对米勒图的证明,第三步有可能牵连到图外另一侧的色点(从图外),第四步从图上看明显有误。你再检查一下。
米勒图是个谜。我很想了解他的思路,苦无材料。似乎是先填入、后构图证明。否则怎么会认为证明不成功却把B色填入待填色区呢?
敢峰3月17日
43、2017年3月18日我的回复:
方老:
1、你说:“16日来信收到。我看可以吧。”这是说我认为你的意见提得对是“可以”呢,还是说我想把我们的来往信件公布出来“可以”呢?
    2、你说:“你对米勒图的证明,第三步有可能牵连到图外另一侧的色点(从图外),第四步从图上看明显有误。你再检查一下。”是指那一篇文章呢,请说出文章名来,我好去检查一下。
    3、你说:“米勒图是个谜。我很想了解他的思路,苦无材料。似乎是先填入、后构图证明。否则怎么会认为证明不成功却把B色填入待填色区呢?”其实,米勒的图与你的最后那个终极图是一模一样的。只是由于图是拓朴的,画法不同而已。
    4、你对你的图的解法不是有两种方法吗,一个是在AB环内、外交换CD,使图变成可解的、可同时移去两个同色B的图;另一个是再次进行二十次大演绎,第一次得到一个仍有AB环的图,也可在这个AB环内、外交换CD,使图变成一个没有交叉链的图而可解;以后再进行演绎时,又会得到类似于你的那个终极图,也有AB环,从其内或外交换CD,都可变成可同时移去两个同色的图而可解;再进行一次演绎,又会变成类似于第一次演绎后的图,也有AB环,从其内或外交换CD,也会使图变成一个没有交叉链的图而可解。如此交换演绎下去,图总是在这两种图之间进行变化,出现了循环。
    5、在出现了循环的情况下,你把每一种情况都能进行着色,并很快的解决了问题。但米勒他就没有看到这一点,看不到每一种情况都可单独解决,总认为图中仍有两条连通且相交叉的链,是不能解决的。所以他根据他对赫渥特图演绎两次后,就变成无交叉链的情况,可以解决问题,就企图想用这种办法解决四色问题。而他的这个图无论进行多少次演绎,都仍含有交叉链,所以他就认为这个图是不可解,而放弃了他们原来想通过演绎的方法(你的这种演绎方法,他们叫做赫渥特颠倒法,其实质是一样的)解决四色问题的想法。
6、至于为什么又给其中的未着色顶点着上了B,这是后来在2010年前后,张彧典先生用他的所谓Z—换色程序(也就是你的两种方法,这我好象已经给你说过这个问题)着上的,其实还是与你的着色方法相同。
7、从你的终极图进行演绎时,总是在两种图间进行循环转化看,一个是你的终极图,一个是类似于赫渥特图的图,说明你的图与赫渥特的图是可以相互转化的,而各自都有自已的单独解决办法。这也就是你的两种方法。但米勒就看不到这一点,他就不能分别给这两种图用单独的方法进行着色。虽然两种图中都有AB环,但意义是不同的,也虽然两种图都是在AB环内、外交换CD,但交换的目的和意义也各是不同的,是根据两种图的不同解决方法而进行的交换。链名相同只是一种巧合而已。
    8、关于米勒图,你可以从网上购一本张彧典先生的《四色问题探索》小册子看看。
44、2017年3月19日敢峰先生来信:
雷明先生:3月18日信收到。
1、指通信可上网。
2、现在才知道了米勒图的B是张先生填入的,原来我还以为米勒掉进四色陷阱了。看来,米勒是清醒的、聪明的。图中的A—B环,我猜想米勒不会看不出来的,不会舍此另找破解之法。极大可能是看到外圈的5点4色与5轮图沿同,回归到了原点,等于未证,想改变又未成功,故认为此图不可解。他的图是按形成A—B环的思路构出的,但中途有误(我已发现),否则是可使外圈成为5点3色的图。但并不由此说明就是终极图,要有理由。你出于好意,认为在拓扑上米勒图同我的图是同一个图,但严格地说,是不可以的。倘拓扑翻转过来,中间同,内外两头不同。圈外成了哈密顿图,也不可能有一填色隐点能与5点4色相连,内圈也不是5轮图,而是一个极大图。两者并非拓扑同构。我的二阶图N倘你把外悬的B点作隐点拿掉,外圈在20步循环中都是5点3色。因是演绎成图,隐点和隐线都成显线了。(B点是个中间驿站,始终未改色)。
3、你对泰特定理的证明,题目好。过去我不知泰特定理,我感觉,它同四色定理是一回事。无哈密顿的泰特图是外向走向无穷大的证明,有哈密顿的泰特图是内向走向无穷小的证明。不能以此确定证明与否。它遇到的问题与直接区域填色遇到的问题一样,只是转换了形式。四色证明是一个动态问题,静态证明是不行的。希伍德是第一个在证明中跳出如来佛手掌的人,但随即又被如来佛抓住了。只有终极证明(不必非是一个终极图)才能最终跳出如来佛的手掌。理论极为重要,但不能代替实际证明。我在再证明中(文章第二部分),标题就是”构建理论体系,再证四色定理”。全文最后集中讲拓扑思维。证明本身我并不看得很重。已送出去请人打印,尚需静等。
4、我1985年的证明,与众皆不同,至今我仍持肯定态度。书中收入了。如有兴趣,可看看。凡事多一点思路好。
5、你对米勒图的证明,查找不到了,我只留下了四个图,第四图中,两个B对撞。(你是想把外圈5点4色变为5点3色。)第三步图,最后B换C时非有控调节。
敢峰3月19日
45、2017年3月20日敢峰先生来信:
雷明先生:我图与米勒图不同,最重要的一点是:B未填入V以前,米勒图内外两边都是5点4色,我图外圈是5点3色。将B色填入米勒图的V以后,消失了一个5点4色圈,造成了两图可以拓扑转换的假象。敢峰3月20日
46、2017年3月20日我回复:
方老,我把米勒,你,我和张彧典先生四个人对同一个图的不同画法都画出来了,供你参考。雷明,2017,3,20,(图略)

雷  明
二○一七年三月二十日于长安

    注:此文已于二○一七年三月二十四日在《中国博士网》上发表过,网址是:
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