埃及分数的一般分拆法则

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埃及分数的一般分拆法则 关永斌 关春河 （黑龙江省龙江县发达中学 161102） 摘要： 通过深入研究埃及分数意义，得到了埃及分数的一般分拆法则。并对各种类型埃及分数的分拆结构给出了理论上的证明。 关键词： 埃及分数 分拆法则 同余分类 穷举法 分拆底数 欧德斯猜想 强数 埃及分数是一个具有悠久历史的古典数学问题[1]。从有限历史资料中，人们发现古埃及人已经能够非常熟练地运用埃及分数解决许多生活中遇到的实际问题。可是古埃及人是如何建立起这种运算体系？它的一般运算法则是什么？尽管近代有许多人曾耗费了大量的精力加以研究，但至今只是的到一些零散的结果，问题远未得到解决。埃及分数的实质，就是能否把一个真分数分拆成若干个单分数的问题。用现代的数学方法表示就是：对于任意的n,m,k∈N, 且(m,n)=1,n>m,，不定方程 m/n=1/x1+1/x2+1/x3+……+1/xk （1） 在什么条件下有正整数解。 一般来说，方程（1）一定有一个x1=x2=x3=……=xk=mn的正整数解。显然，方程（1）的这个天然解的数学价值不大。而且在古埃及分数中，古埃及人也不取这样的解，甚至连其中两个数值相等的情况也不取[2]。事实上，正是因为顾及古埃及分数中这一要求，这就使现代许多人无法了解古埃及人是如何完成其分拆过程的。那么方程（1）是否存在诸xk两两不等的正整数解？且同时k最小取到何值才能使方程（1）有正整数解？能使方程（1）取到相应的正整数解埃及分数又有何特征？解方程（1）的一般分拆法则又是什么？…… 任一个埃及分数一定可以表达为 m/n=1/x+(mx-n)/nx (2) 因此，研究埃及分数的分拆，我们只需讨论 m/n=1/y+1/z (3) 是否有解。事实上，我们只需逆向运用分数的加法法则[3]，就可以得到埃及分数的分拆法则。 定理1 在一个埃及分数m/n中，若A,B是n所函任一对因数,且A>B。那么A,B一定可以表达为A=k1m+r1,B=k2m+r2 (mod m)。此时如果存在某一个r1+r2=m,则方程（3）有正整数解（y=(k1+k2+1）n/A, z=(k1+k2+1)n/B))。否则方程（3）就没有正整数解。 证 设A,B是n所函任一对因数,且A>B。则A,B一定可以表达为A=k1m+r1,B=k2m+r2 (mod m)。此时若存在某一个r1+r2=m,那么，把（y= /A, z=(k1+k2+1)n/B))代人方程（3），可推得 右式=A/(k1+k2+1)n+B/(k1+k2+1)n=(A+B)/ (k1+k2+1)n=(k1+k2+1)m/(k1+k2+1)n=左式 显然，若不存在某一个r1+r2=m,那么，就不能推出方程（3）的左右相等。 一个埃及分数的分拆结果如何，依赖于这个分数的取值。利用正整数的有序性[4]，我们对埃及分数的分拆展开全面的讨论： 1 m=1, m/n=1/n 1.1 当n>1,时，取1=0×1+1,n=n×1+0,运用定理1推得1/n=1/(n+1)+1/[n(n+1)]。所以，我们可以归纳出： 定理2 任一个单分数一定可以分拆为两个不同的单分数。 由定理1又不难得到一个推论 推论 任一个单分数可以分拆成任意多个单分数。 当n=1时，m/n=1。在这里，我们把1看成为分母为1的单分数。由于1=1/2+1/2，所以1可以分拆为两个单分数。那么，1又是否可以分拆为两个不同的单分数？答案是这不可能。 定理3 1不能分拆为两个不同的单分数。 证 假设1可以分拆为两个不同的单分数。那么方程 1=1/x+1/y （2） 有正整数解，且x≠y。 然而解这个方程可得x=y/(y-1)，此时如要满足x为正整数，只能是(y-1)|y。但由于(y-1)与y是相邻的正整数，因此必然是((y-1),y)=1。于是要想满足(y-1)|y，只能是y=2。然而当y=2时，又解得x=2。这与x≠y矛盾。故假设不成立。 所以，1不能分拆为两个不同的单分数。 证毕 2 m=2, m/n=2/n 。对n以2为模进行同余分类，则n≡0,1 (mod 2) 2.1 当n≡0,设n=2k,k∈N，仿1推得2/n=1/k=1/(k+1)+1/[k(k+1)]。 2.2 当n≡1，设n=2k+1,k∈N，取k1=k, k2=0, r1=r2=1, 运用定理1推得2/n=1/(k+1)+1/[(k+1)(2k+1)]。 2.3 当n=1时，如果我们允许分母可以取值为1，则有2/1=1/1+1/1。实际上，我们已经把埃及分数的分拆由真分数扩展到了可以包括假分数的情形。 综合以上所述，任一2/n型的分数一定可以分拆为两个单分数。且当n>2时，又一定可以分拆为两个不同的单分数。 3 m=3，m/n=3/n。对n以3为模进行同余分类，则n≡0,1,2 (mod 3)。[5] 3.1 当n≡0(mod 3)时，设n=3k,k∈N，仿 1推得3/n=1/k=1/(k+1)+1/[k(k+1)]。 所以这种类型的3/n一定可以分拆为两个不同的单分数。 3.2当n≡2(mod 3)时，设n=3k+2, k∈N，取k1=k, k2=0, r1=2, r2=1, 运用定理1推得 3/n=1/(k+1)+1/[(k+1)(3k+2)]。所以这种类型的3/n一定可以分拆为两个不同的单分数。 3.3当n≡1(mod 3)时，设n=3k+1, k∈N，设e是n所函的任一个因数，那么e一定是e≡1(mod 3)或 e≡2 (mod 3)。 ① 如果此时存在某个e≡2 (mod 3),那么令e=3k+2,仿3.1可推得 3/n=1/[(k+1)n/e]+1/[(k+1)(3k+2)n/e]。所以这种类型的3/n一定可以分拆为两个不同的单分数。 ② 如果此时所有的e均为e≡1 (mod 3),那么根据定理1可知，这种类型的3/n一定不可以分拆为两个不同的单分数。 第一个n=3k+1型的数n=4，由①可知，3/4可以分拆为两个单分数。第二个n=3k+1型的数n=7，由②可知，3/7不能分拆为两个单分数。这也是第一个不能分拆为两个单分数的埃及分数！ 定理4 3/7不能分拆为两个单分数。 由定理4由不难推出定理5 定理5 如果n=6h+1为素数或其为合数但所含因子均为6h+1型素数，那么，这种类型的3/n一定 是不能分拆为两个单分数的埃及分数。 由方程（1）的讨论可知，任一3/n型的分数一定能分拆为3个相同的单分数，同时，由于 3/(6h+1)=1/(2h+1)+2/[2h+1](6h+1)]=1/(2h+1)+1/[(n+1)(6h+1)]+1/[(n+1)(2h+1)(6h+1)]，所以3/(6h+1)型的分数又一定能分拆为3不同的单分数。 3.4 当 时，如果我们允许分母可以取值为1，则有3/1=1/1+1/1+1/1 。 综合以上所述，任一3/n型的分数一定可以分拆为三个单分数。且当n>1时，又一定可以分拆为三个不同的单分数。并且除n只函6h+1型的素数外，3/n又一定能分拆为两个不同的单分数。 在此我们给出一个定义。 定义1 当正整数m为定值，对于任意的正整数n>m，都能满足方程（1）有正整数解的最小k值，称之为方程（1）的分拆底数，记为FD(m)。 由以上的推导可知，当m=1,2时，方程（1）的分拆底数为FD(1)=FD(2)=2。当m=3时，方程（1）的分拆底数为FD(3)=3。 4 m=4, m/n=4/n，由于我们已经证明了欧德斯猜想[6]，结合仿以上各例的推导过程可知，对于一切的n>1 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(4)=3。 5 m=5, m/n=5/n，仿以上各例的推导过程可知，对于一切的n>1 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(5)=3。 6 m=6, m/n=6/n。仿以上各例的推导过程可知，对于一切的n>1 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(6)=3。 7 m=7, m/n=7/n。仿以上各例的推导过程可知，对于一切的n>2 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(7)=3。 8 m=8, m/n=8/n。仿以上各例的推导过程可知，对于一切的n>1 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(8)=4。这也就是说，在8/n型的埃及分数中，存在着分拆项不可少于4的数！第一个这样的数是8/11。 证 ① 由于11所函的因数只有11和1，由定理1不难推出于8/11不能分拆为两个单分数。 ② 假定8/11可以分拆为3项，设其中1/x是最大的分拆项，不难推知1m扩展为n>1，那么还会得到两个强数为2和3。 9 当m=9时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>2 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(9)=4。 强数只有q=11，19这2个。 10 当m=10时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>2 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(10)=4。 11 当m=11时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>2 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(11)=4。 12 当m=12时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>2 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(12)=4。 13 当m=13时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>3 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(13)=4。 14 当m=14时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>5 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(14)=4。 15 当m=15时，仿前面的推导方法可知，对于一切的n>4 的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(15)=4。 16 当m=16时，取n=17，由于16/17=1/2+1/3+1/17+1/34+1/51是16/17最好的解，所以16/17是第一个不能分拆为4个单分数的埃及分数。仿前面的推导方法可知，对于一切的n>3的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(16)=5。…… 继续追寻下去，我们发现，探究方程（1）的分拆底数FD(m),只需研究n=p为素数，m=p-1的情形。 102/103=1/2+1/4+1/6+1/14+1/721+1/1236是102/103最好的解，所以102/103是第一个不能分拆为5个单分数的真分数。因此，FD（102）=6。 732/733=1/2+1/5+1/8+1/9+1/16+1/65970+1/105552是732/733最好的解，所以732/333是第一个不能分拆为6个单分数的埃及分数。因此，FD（732）=7。 32410/32411=1/2+1/5+1/7+1/8+1/32+1/1204+1/31808+1/221649753920是32410/32411最好的解，所以32410/32411是第一个不能分拆为7个单分数的埃及分数。因此，FD（32410）=8。 那么，第一个不能分拆为8个单分数的埃及分数是多少？现在还不得而知。但它一定是一个 （p-1）/p型的埃及分数！ 参考文献： [1] 王晓明，《埃及分数》，http://baike.baidu.com/view/34145.htm?fr=ala0_1，百度百科，2010-10-25。 [2] 汪和庆 《埃及分数与法莱数列》，http://www.yangteacher.com/Html/200921235833-1.Html，百度百科，2009-2-1。 [3] 潘承洞，潘承彪，《初等数论》，[M]，北京大学出版社，1992。 [4] 胡作玄，《毕达哥拉斯到费尔马》[M]，河南科技出版社，1998。 [5] 华罗庚，《数论导引》[M]，科学出版社，1979。 [6] 关永斌，关春河，《破解欧德斯猜想》[C]，第七届全国初等数学交流会汇编，2009-8。