请教一道可能是概率问题

tian27546

  想用期望来算 还没算出

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/04/16 02:55pm 第 4 次编辑]

下面引用由tian27546在 2011/04/10 06:02pm 发表的内容：
  想用期望来算 还没算出

题  在一个边长为 1 的正方形中，均匀分布有 200 个点，任意两点间距离小于
r 就有一条边相连，要使得平均每个点有 12 条边与它相连，问：r 应取值多少？

解  我在《数学中国》论坛的下列帖子中：
“半径为 r 的圆落在边长为 a 的正方形中的面积的平均值”
    http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=11800
求得半径为 r 的圆落在边长为 a 的正方形中的面积的平均值为
    r^2[(11/3-π)r^2-8ar/3+πa^2]/a^2 ，
所以，半径为 r 的圆落在边长为 1 的正方形中的面积的平均值为
    r^2[(11/3-π)r^2-8r/3+π]
由于已知在正方形中点的密度为每单位面积 200 个，所以在这样一个圆中，平均有
    n = 200×r^2[(11/3-π)r^2-8r/3+π] 个点。
如果其中有一个点正好在圆心，则在它周围平均有 n-1 个与它距离小于 r 的点，
也就是说，平均有 n-1 条边与它相连。
    现在要使得平均每个点有 12 条边与它相连，也就是要有
     n-1 = 200×r^2[(11/3-π)r^2-8r/3+π] - 1 = 12 。
这是一个关于 r 的四次方程，用数值方法，可以求得 r 在（0,1）中的近似值为
          r = 0.1539210999088… 。