[原创]一类方程的迭代

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/04/11 08:58am 第 1 次编辑]

[watermark]

下面引用由波浪在 2011/04/11 07:03am 发表的内容：
本人探讨出一种不用迭代就可求近似实数解的简便法，整理出时将贴出。
对迭代法已经好久没看了，不知楼主和 drc2000 先生若用迭代法求解 x^x = 2 该如何进行？

对x^x = 2,两边同时加上x^2
2x^2=2+x^2
两边同除以2x得递推公式:
           x=x/2+1/x
取初值:x=1
第一次迭代:x=1/2+1/1=3/2
第二次迭代:x=(3/2)/2+1/(3/2)=3/4+2/3=17/12
第三次迭代:x=(17/12)/2+1/(17/12)=17/24+12/17=577/408
到第三次迭代时:x=577/408=1.41422与√2已经很接近了.
[/watermark]

drc2000

当初我找到这种方法的时候,还感觉颇为得意.
可后来在计算数学中学到牛顿迭代法后,
才知道我的方法,其实根本不值一提.

drc2000

练习:求x^3=100的近似根.

luyuanhong

题  用迭代法求方程 x^x=2 的解。

解  对 x^x=2 两边同时取对数，得 xlnx=ln2 ， lnx=ln2/x ， x=e^(ln2/x) 。
   取初始值 x(0)=1 ，用迭代公式 x(n)=e^[ln2/x(n-1)] 作迭代，可得
x(1)=2
x(2)=1.414213562
x(3)=1.632526919
x(4)=1.528956463
x(5)=1.573569457
x(6)=1.553473731
x(7)=1.562351037
x(8)=1.558395073
x(9)=1.560151151
x(10)=1.559370273
x(11)=1.559717242
x(12)=1.559563020
x(13)=1.559631558
x(14)=1.559601097
x(15)=1.559614635
x(16)=1.559608618
x(17)=1.559611292
x(18)=1.559610104
x(19)=1.559610632
x(20)=1.559610397
x(21)=1.559610502
x(22)=1.559610455
x(23)=1.559610476
x(24)=1.559610467
x(25)=1.559610471
x(26)=1.559610469
x(27)=1.559610470
……

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2011/04/11 09:30am 第 4 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/04/11 09:19am 发表的内容：
题  用迭代法求方程 x^x=2 的解。解  对 x^x=2 两边同时取对数，得 xlnx=ln2 ， lnx=ln2/x ， x=e^(ln2/x) 。
   取初始值 x(0)=1 ，用迭代公式 x(n)=e^作迭代，可得
x(1)=2
x(2)=1.414213562
...

谢谢教授,您的方法收敛速度很快,似乎超过了牛顿迭代法.
但是后面离√2相差过大.

luyuanhong

下面引用由drc2000在 2011/04/11 09:26am 发表的内容：
谢谢教授,您的方法收敛速度很快,似乎超过了牛顿迭代法.
但是后面离√2相差过大.

请你仔细看一下波浪出的题目：是求 x^x=2 的解，不是求 x^2=2 的解。
所以，这个方程的解不是 x=√2 。

drc2000

下面引用由luyuanhong在 2011/04/11 09:42am 发表的内容：
请你仔细看一下波浪出的题目：是求 x^x=2 的解，不是求 x^2=2 的解。
所以，这个方程的解不是 x=√2 。

呀,对不起,确实是我看错了.

luyuanhong

下面引用由drc2000在 2011/04/11 11:04am 发表的内容：
呀,对不起,确实是我看错了.

不过，你给出的求平方根的迭代法，还是不错的。

波浪

    谢谢 drc2000 和 luyuanhong 的讨论，x^x = 2 的解是超越数。
   

波浪

现代数学三大难题之二的最新进展
http://www.jinqianzx.com/zhu/forum_posts.asp?TID=1376&N=4