在正整数 1,2,3,…,27 中取相异三数，使得它们的总和被 3 除余 1 ，有多少种取法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  在正整数 1,2,3,…,27 中取相异三数，使得它们的总和被 3 除余 1 ，有多少种取法？

解  1,2,3,…,27 这 27 个数可以分为 3 类：

    被 3 除余数为 1 的数：1,4,7,10,13,16,19,22,25 ，这 9 个数简称为“模 1 数”；

    被 3 除余数为 2 的数：2,5,8,11,14,17,20,23,26 ，这 9 个数简称为“模 2 数”；

    被 3 除余数为 0 的数：3,6,9,12,15,18,21,24,27 ，这 9 个数简称为“模 0 数”。

    要使得三个数的总和被 3 除余 1 ，共有下列 3 种情况：

（1）取两个“模 0 数”，取一个“模 1 数”，有 C(9,2)×C(9,1) = 36×9 = 324 种取法。

（2）取两个“模 1 数”，取一个“模 2 数”，有 C(9,2)×C(9,1) = 36×9 = 324 种取法。

（3）取两个“模 2 数”，取一个“模 0 数”，有 C(9,2)×C(9,1) = 36×9 = 324 种取法。

    所以，使得三个数的总和被 3 除余 1 的取法总数为

              324 + 324 + 324 = 324×3 = 972 种。