e^xの导数，等于其自身！这个证明中，是否运用了【无穷尽】这样一种说法？是否有~~~

dodonaomiki

是否有~~~更加具体甚至生动、形象的说明？



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以前，从没注意过这个证明！
这个问题，也是突然想到的！



有兴趣者进！
谢谢您！

jzkyllcjl

e的v定义， e^x导数公式，级数和的推导都用到无穷数列求极限方法。当然都用到无穷尽，即无有穷尽、无有终了、无有最后、无有结束的概念，
你的质疑、批判、创造精神好。

dodonaomiki

jzkyllcjl 发表于 2017-3-29 08:24
e的v定义， e^x导数公式，级数和的推导都用到无穷数列求极限方法。当然都用到无穷尽，即无有穷尽、无有终了 ...

无穷数列求极限方法？


我再慢慢体会~~~
谢谢您的支持！


长风破浪会有时，直挂云帆搞数学~~~


努力   把基础数学搞懂！

drc2000回来

另外一法，用反函数
x=lny中  dx/dy=1/y
所以dy/dx=y
既d（e^x）/dx=e^x

drc2000回来

此法无需牵涉无限等。。。

jzkyllcjl

无尽小数0.3333……是1被3除的无限过程中一步一步得到的无穷0.3，0.33，0.333，……，的简写；这个数列的极限是1/3。所以应当写出极限性等式 1/3=lim 0.333……，或全能近似等式 1/3~0.333……，后者代表一系列近似等式 1/3 ≈0.3; 1/3≈0.33; 1/3≈0.333,   ……。所有无尽小数都是如此。
所有无理数的小数表达式都是算不到底的，都需要使用近似有尽小数近似表示。所有级数和也是如此。桌子、椅子、宇宙飞船的制作都离不开近似测量方法。

awei

摘自网友，修改了一下而已。
先求函数f(x)=a^x（a>0,a≠1）的导数
f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)]/h（h→0）
=lim[a^(x+h)-a^x]/h（h→0）
=a^x lim(a^h-1)/h（h→0）
对lim(a^h-1)/h（h→0）求极限,
设a^h-1=y,a^h=1+y,h=log_a(1+y)=ln(1+y)/lna
h→0时y→0
lim(a^h-1)/h  (h→0)
=lim  y/[ln(1+y)/lna]  (y→0)
=lna*lim y/ln(1+y)  (y→0)
=lna*lim1/[1/y*ln(1+y)] (y→0)
=lna*lim 1/{ln[(1+y)^(1/y)]} (y→0)
已知lim(y→0)(1+y)^(1/y)=e,故
原式=lna*1/lne=lna
∴f'(x)=a^xlna
即(a^x)'=a^xlna
当a=e时,∵ln e=1
∴(e^x)'=e^x

awei

e的神奇就是可以让无穷大和无穷小互相穿梭，却不影响结果。
lim n→0（1＋1/n）^n＝（1＋n）^（1/n）＝e
[e^（x+Δx）－e^x]/Δx＝e^x

dodonaomiki

awei 发表于 2017-3-29 16:21
e的神奇就是可以让无穷大和无穷小互相穿梭，却不影响结果。
lim n→0（1＋1/n）^n＝（1＋n）^（1/n）＝e
...

谢谢AWEI

dodonaomiki

drc2000回来 发表于 2017-3-29 13:04
另外一法，用反函数
x=lny中  dx/dy=1/y
所以dy/dx=y

谢谢DRC