转发敢峰先生的《海岛理论与四色问题》（二）

雷明85639720

海岛理论与四色问题（二）
（2017年3月5日）
敢峰

（接上贴）

四 色 姑 娘

阅读证明难免是枯燥的。前面的证明，也可以同时视为一个引子，重头的问答还在后面。请大家休息一下。隙间，为了增加一点兴味，同时也想有助于大家形象地了解我的这个枯燥证明，因此不怕见笑，我用简陋的写意手法编了一个小剧。剧名叫做《四色姑娘》。其大意是：
天空一个月亮，海面一个月亮。她俩是天生的一对形影不离的四色姐妹。只要天气晴好，每晚都会在海天之间手拉手跳舞。这本是一件天经地义的事，谁也没有怀疑过她们不是姐妹。
    有一天，数学女王来了。对众人说：“你们认为她俩是姐妹，这只是猜想，要拿出数学证明才行啊！如果谁证明了，我就奖给他一颗王冠上的明珠。”众人和在场的数学家都乐了，说：“行！这还不容易吗？”
    于是，数学女王用云把天幕合上，把四色姑娘藏进月宫的5轮楼中。四外筑起高墙，院外布满了蜘蛛网式的小路。路边挖了一些看不见的陷阱，树间还盖起亭子。谁认为自己证明了四色姐妹是姐妹，就坐在亭子里休息，等待她派数学权威来鉴定。院中还有池塘和假山。整个院子简直就像个诱人的迷宫。
    证明开始了。前来证明的各界人士和数学家络绎不绝。有一天数学女王来了，一位数学家请她到池塘边，说：“在池塘里同样可以看见四色姐妹。这不就是证明吗？”数学女王说：“池塘不是大海啊！”
    于是，有些人为了找到四色姑娘，把她带到海边，从早到晚绕来绕去，鞋底都磨穿了，虽然有些证明很不错，但也没有走出迷宫般的小路。还有些人没有去月宫，自信满满地拿着证明去请教殿堂里的数学家。数学家扫了一眼，说：“你这是想骑自行车上月球！”
    证明四色问题的人越来越少了。真是寥若晨星。连高居殿堂的数学家也不研究了。四色姑娘常年苦困愁城，容颜憔悴。斗转星移，一百多年过去了。有一天，闯来了一位探奇者。谁也没有料到他竟在“迷阵”中专门挑“此路不通”的路走。人们感到奇怪，问他怎么这样傻。探奇者淡淡地回答：“其实傻人最聪明。你想想：其他的路，这么多人，包括学问高深的数学家都走过多少遍了。如果走这些路能找到四色姑娘，四色姑娘早就被找到了，还等待我来找吗？”于是，众人七嘴八舌议论开来了。有人认为有些道理，不妨试试，但不相信能够找到。有的说：“那么多数学家都破解不了寻找四色姑娘的路，你别在这里瞎逞能了。”还有些人摇摇头，不吭气。谁知探奇者真的就这样找到了四色姑娘。
    当探奇者把四色姑娘叫醒时，不禁愣了：四色姑娘不是光彩照人吗？怎么会是这个样子呢？只见四色姑娘半信半疑，仍在发愁，说：“我的披肩被数学女王藏起来了，有了它才能姐妹相会啊！”探奇者把披肩拿了出来，问：“是这个吗？在假山洞里发现的。”四色姑娘见后，当即绽出了笑容，连声道谢。她回过头去，略加梳妆，便匆匆拿上披肩，紧跟着探奇者左曲右拐，走到路的尽头。
这时，只见她面临大海，左手飞出披肩遮挡了一座灯楼，让其他五座灯楼闪现出三种颜色，同时用右手拨开了云层。瞬间，海天之间大变。四色姑娘出现在天空中了。整个海面浮光耀金，四色妹妹也同时在海面涌现。在海浪欢腾中，妹妹配合四色姑娘共同演出了一出《四色证明进行曲》三幕舞剧：开门引“妖”、迎“妖”入室、关门擒“妖”，见证了四色定理的再证明。
幕缓缓落下来了。幕后传来了四色姑娘的声音：“怎么没有看见数学女王呢?”有人回答：“大概是对你们的演出没有兴趣。”一个小孩连忙说：“不！妈妈还在睡觉呢。”
    在这个小剧中，我把海岛理论、反求思路、终极图、四色陷阱、构图迷宫、最终证明等形象化地融入其中，把百余年来四色论证的冷热变化和议论作为陪衬。虽艺术水平浅薄笨拙，亦可谓一片苦心在“玉壶”矣。
下面，让我们再次回到现实的四色证明中来吧！

答 大 家 问

    下面回答大家提出的一些问题。
    一、终极图究竟是指什么？“四色陷阱”和“构图迷宫”寓意何在？不构终极图就不能证明四色定理吗？
    终极图是指能最终证明四色定理的图。在终极图中证明了四色定理，就是在无穷和无限复杂的区域中证明了四色定理，从而最终证明了四色定理成立。终极图是我在四色证明中悟出的一个极为重要的概念。证明四色问题之难，就难在找到构建终极图的路线和方法。四色猜想的提出是从绘制地图引发的（这是数学中的一个重大发现）。绘制地图区域数极为有限，用不着证明，也从来不依靠证明来填色。但是，作为一个数学上的定理证明来说，那就牵扯到无穷尽的区域了。因此，必须想办法构建出一个供证明用的图，能使无限的证明转变为有限的图内证明。这样的图就是终极图。怎么能找到这种图呢？没有相应的正确思路和构图路线，就是动用电子计算机，一百年一千年也不行。四色定理证明之难，就难在这里。我的两个证明，都是走四色不可解路线构成终极图的。在构图过程中，把一切四色可解线路都排除了，无需再向外扩展也不可能再向外扩展了，整个图（包括图外的隐点和隐线在内）成为一个完整的自洽体系。因此，名之为“四色不可解线路集合”。在这个图内证明了四色定理，就在一切情况下证明了四色定理，当然这就是终极的证明了。
什么是“四色陷阱”呢？因为任何一个具体的图都是可以想办法使待填色区填入四色中的一色的（否则，对四色定理就可以“一票否决”），形成四色证明过程中的“陷阱”。在非终极图中自以为证明了四色定理，把四色中的一色填进了待填色区，那就掉进“四色陷阱”中了。英国数学家米勒（Miller）的米勒图是著名的，据知曾发表在1992年牛津大学《数学季刊》第二期上。米勒图与我的四色不可解线路集合（二阶图N）极相似，成图时间可谓同时。主要的不同是，米勒图的外圈是5点4色，显然不是终极图。米勒是清醒的，经连续“颠倒”不成功，最后放弃了。雷明先生说，两图实质上是同一个图。开始时我还认为不是，随即在进行演绎中发现，两图是相通的。对米勒图继续经过4步演绎后，可以完全转换为我的图。即：第一步，在A—B环外C与D互换。第二步，在左侧A—D环（连接图外隐点W）中将B换成C。第三步，在右侧A—C环（连接图外隐点W）中将B换成D。这时图外圈就是5点3色的了。第四步，将B色填入图外隐点W。这就同我的图完全一样了，最后可将B填入5轮图中的待填色区。我不了解米勒的构图思路，凡图都有成因，对此，还需继续研究。
    “构图迷宫”是说，在实际证明过程中首先需要构图，而图中线路交错复杂，往往被困其中。每开拓和连接一条线路，都面临着两种选择或多种选择，如同身处“迷宫”之中。如无清晰的思路和正确选择，必然深困其中，走不出来。过去我在四色证明中，就曾经历过这样一个较长过程。
    因此，要使四色定理得证，一定要跨越“四色陷阱”和走出“构图迷宫”。我就是靠坚持走四色不可解路线跨越“四色陷阱”和走出“构图迷宫”的。
    证明四色定理，不只有找到终极图这一条路。雷明近期所作的《最简单证明》就是这样的。1985年我作出的证明《四色定理的证明和方法论——图形填色的系统控制和调节工程》，只有终极的宏观控制图，即转无穷的外向证明为内向证明的图，就没有具体的终极图。待填色区始终处在移动过程中，是直接作为图形填色的系统控制和调节工程依序进行的。逢山开路，遇水搭桥，每当遇到四色不可解时都可以用“宝葫芦定理”实际化解。这是一种无不可至、无不可解的动态证明法。至今我仍然认为这个证明是成立的，而且具有很高的实用价值。这个证明也是终极证明，但在证明过程中用图多是例举，缺乏缜密。
   二、 你在1992年已经作出了证明，为什么现在还要再作一个呢？两个证明有何不同？后一个证明在构图时要排除A—B环，但上一个证明却最后要借助A—B环，这不是互相矛盾吗？你对这两个证明如何评价？
    这两个证明正好是姊妹篇，可收互相印证、相得益彰之效。两者是同一个思路，成图和构图走的是同一条路线，只是方法和表现形式不同。（1）前者是用演绎筛法，是环绕5轮图周而复始进行的。其四色不可解线路全部由A—C、A—D、B—C、B—D所形成的交叉环组成。其中每一步都同时直接筛除了相关的四色可解线路，连接四色不可解线路。经过20步演绎，终于浑然天成地形成了四色不可解线路集合的终极图。图中赖以最终证明四色定理的A—B环，由于A—B和C—D不能参加演绎过程，是在周而复始的演绎过程中自然和不可免形成的、显现的，明确无疑地标志着四色定理的必然成立。后一个证明则反转过来了，是静止的直接构图，排除了所有的四色可解二色环和四色可解线路。因此，使人在终极图中两眼茫茫，不知证明何从下手，甚至怀疑四色定理不成立。只是在最后才发现了“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的秘密。因此，前图有A—B环，后图没有A—B环，两者不但不矛盾，而且是殊途同归，更有力地证明了四色定理的成立，同时也就说明了两个证明都是正确的。（2）前者是演绎成图，是个周而复始的动态图，可以形成20步转换，连续作出20个具体证明。后者直接构图，是静态图，只能作出单一的证明。（3）前一个图，由于演绎成图，因此图外的隐点和连接图外圈5点3色的隐线变成了显线，成为终极图自身的一部分（其实，图外的极点B只是B—C和B—D线运行的中转驿站，填色一直未变）。请看，把B点换成隐点，连接B点的线换成隐线，整个图的外圈不就是5点3色吗？而后一个证明，由于是直接构图，故图外有隐点、隐线。在整个图的结体特别是运转和证明功能上，后图不及前图。其中最重要的一点是，前图提供的两种证明方法，说到底，是概括了在5轮图中全部四色可证的两种基本形态和方法。即：2色环是连接5轮图沿的两个区还是三个区。在全方位演绎中，凡属单数步骤的运转证明方法最终是两个交叉的3区2色环，双数步骤的运转证明是两个非交叉的2区2色环，其他没有了。因此是穷尽的、无所不能和无不可至的证明。
    三、你的这个证明符合学术规范吗？不但不用学术用语，不引用文献，甚至还穿插比喻，瞎编故事。
    问题提得好，提得尖锐。这要看怎么理解了，而且牵涉到治学态度、治学思想、治学风格和治学方法问题了，需要深入一步，做点说明。首先，我做学问是认真的，对实质问题、关键问题和重要的细节问题从来抓住不放，甚至要追逐到天涯。我在1992年作出前一个四色证明后为什么还要在本世纪初写出一篇简证？就是因为在这个证明中为了追逐复式图的一些重要细节问题，花费了很大的精力和很长时间，用了绝大部分篇幅反复论证，几成“天书”。我真不知道有谁愿意终读啊！我自己也是用蚂蚁啃骨头的精神“啃”出来的。（对这些我在简证中只用一句话带了过去。现在回过头来看，还是应该多讲几句。5轮图外的顶点在演绎过程中就是一个站，如同火车站一样，站内部是线路相通的。倘不能，就是四色可解线路。这样，什么复式图及其证明就可以全部省去了。）同时，在治学中，我从来不愿意受一些不必要的拘束，更不愿“戴着镣铐跳舞”。第二，在这个证明中，我是有意尽量少用、最好不用术语，希望能有更多的非学术界和研究圈中人也能多看懂一些，至少能隐约知道我在讲些什么。着正装、穿便服都可以啊！第三，数学图论的发展还处在初级阶段，缺乏相应的、涵义准确、规范和通用的学术用语，以及有关四色研究的文献资料（我也缺乏这些条件）。我知道这些对于研究来说都是重要的，而且在四色研究中我自己就造了四个概念：“海岛理论”“四色不可解线路集合”“终极图”和“拓扑思维”。现在在学科中，分支越来越多，不但隔行如隔山，即便同在数学领域，多种分支之间也都或多或少隔着墙啊！我还深知，搞研究倘在“学术套子”中度日月，把自己封闭起来，看不到新天地，在学术上是很难有什么新的作为的。学术、理论从来不排除一些形象化的语言和比喻。试问：可以有“薛定谔猫”，有“果壳中的宇宙”和“虫洞”，有“木桶理论”，还有“潘多拉盒子”等，为什么不能用“海岛理论”、“四色海洋”、“四色姑娘”等一些比喻之类的语言和编个寓意的小剧呢？抽象思维与形象思维也是天生的兄妹。在进行抽象思维和拓扑思维的时候，形象思维也是一个好帮手。
    插问：那么，你是怎样研究四色问题的呢？
    我曾多次说过，我是“林冲误入白虎堂，逼上梁山”。开始时是用自己的手开发自己的大脑（通过画图研究），独立探索，有了某些解题的思路后才找了一些材料看的。我想，如果按照前人的路子走，百余年来当早已被证明了，还会等待着我这个陌生人来证明吗？研究四色问题的数学家都是有能耐的，不是在吃白饭。从这种意义上说，我正是非常重视前人的探索的。我在证明四色定理的过程中，既学飞鹰，又学蚂蚁，把两者统一起来，靠自己的手和脑逐渐上路的，从来不迷信权威。
四、像四色定理这样的世界顶尖数学难题，你却前后作出了两个证明，另外还作出了哥德巴赫猜想的证明。有人说：“这是骑着自行车登月球，可能吗？”对此，你怎么看？
    这没有什么奇怪。老祖宗说过，“人皆可以为尧舜”。做了两道数学证明题，就像往大海抛出了两块石头，而且都快沉到海底了，能算什么？但是，对“骑自行车登月球”的说法，我是深不以为然的。
    不错，我骑的是自行车，但我不是要去月球。这两道数学难题都不在月球上，我去月球干什么？我明白，质疑者这个比喻的寓意除了讽刺之外，是指在证明中用的数学武器不是高等数学。但是我更明白，这两道数学难题本来就是遗而未决的古老问题，并不是现代数学发展中提出的新问题，为什么杀鸡非用高科技刀具不可呢？我认为，这显然是一个认识误区。因此，当时我也打了一个比方来回答：“巡航导弹不一定能打着本•拉登，轻武器不一定打不着本•拉登。重要的问题是要打着本•拉登。”结果呢？本•拉登还是被枪弹打死的。
    五、你确信你的证明是成功的吗？是否会石沉大海？另外，对民间研究你的看法是什么？
    我当然确信证明是成功的。第一，做学问面临的有三种情况：一种是一些属于尚不可及的和无法确定的问题，诸如宇宙的奥秘、生命的起源等，这些只能依据某些新的观察、发现和可及的有限实验进行合理与合乎逻辑的大胆想象、猜测、推理。一种是可及的和可以确认、确证的问题。还有一种是处于上述两者之间的中间态问题。四色定理和哥德巴赫猜想，我认为都是属于第二类可以认知和可以证明的问题。如果得到了确切无误的证明，当然确信。第二，我认为我的证明是确切无误的。虽存在某些瑕疵，但不影响证明。第三，我是筑墙先自推，推倒了就重来，推不倒再拿出来让别人推。如果别人不理，那就等待、等待、再等待。会不会“石沉大海”？从当前情况看，这是大概率，甚至是极大的概率。放眼历史，“石沉大海”的事难道还少吗？一两个证明算得了什么啊！特别是，这些证明在当前都是“冷问题”，在数学殿堂中极少有人还在研究，也不相信别人的研究能够成功。有一些民间人士还在研究，没断烟火就不错了。“清高岂能济世，正确未必成功。有志尚待磨砺，浪急更须从容。”（《海边小悟》）凡事都有个时机和机遇问题，懂得了，才是个明白人。话说回来，只要有人坚持研究就好。这就是希望。据我所知，雷明就是其中一颗明亮的星。他集“伯乐”与“千里马”于一身，勤奋、聪明、公正，熟谙拓扑，研究四色问题已30余年。从他近期所给出的《最简单证明》中，就可以看出他的厚积薄发、纵横驰骋、融汇贯通的功力。我认为雷明的这个证明是成功的。他巧妙地用同一个线路网络所构建的四个基本图，是一个可以互相转换的自洽构形，把所有四色可证线路与不可证线路都囊括其中，统一起来就是一个完整无缝的集合，具有终极性质。在这个集合中证明了四色定理，当然就是在终极的意义上证明了四色定理。如果要问谁是四色问题专家，举目四望，由于了解不多，我真的还说不出舍他其谁。在我的视野之外，当然肯定还会有的。
    我也接触过一些民间研究者，深感他们活力大，韧性强，不怕困难，勇于挑战，不迷信权威，翅膀上没有系着黄金，思想上没有包袱（当然也有他们的弱点）。其中并不乏退休的高级知识人士。这是国家的一笔巨大的隐性财富啊！北京有一个“天地生人”讲座，从本世纪初开始已经举办了1000多期，成绩斐然。开创者和组织者是中国科学院自然科学发展史研究所退休研究员宋正海等人，在艰难的条件下坚持至今，真是令人肃然起敬。“暮看青城日落，晨起月近中天。万和楼上盛会，科技根在民间。”（《参加全国第二届民间科技发展研讨会有感》）只要读读自然科学发展史，一目了然。我真热望能够拆除学术殿堂与民间研究中间的这道无形的隔离墙啊！
    插问：照你这样说，证明四色定理并不难，你有两个姊妹篇证明，雷明也有一个你认为是成功的证明，可能还有其他人的证明。
    我的回答很简单。“谁道崤函千古险？回看只见一丸泥。”（林则徐诗句）过关前和过关后是不一样的。当然，要探索新路再作出新的证明，仍然是一件极困难的事。证明多起来了，是个好兆头。证明对了，那更说明四色定理是中国人证明的。如果证明得不对，也是在推动拓扑研究走向深入和走向普及。
    现在情况颠倒过来了。最难的似乎不是证明，而是无人验证，无人搭理。数学殿堂中人“一不信，二不看”，能支持就是难能可贵的了（因为他们自己并没有研究这个问题），怎么办？那就只好民间研究者互相验证吧！“真理无视权威，社会需要权威。权威离真理近，社会幸甚。权威离真理远，社会倒霉”。（《权威辨》）说穿了，不就是这么个问题吗？过去借助电子计算机证明没有成功，问题出在思路上。如果现在有人按照我1992年的那个证明编制出软件（由于它是直接演绎成图的，编制软件似较容易），我看，大概不要一分钟就可以得到验证。怎奈我不会编程，有兴趣者不妨一试。
    六、最后一个问题，研究四色定理究竟有什么用？
    问到点子上了。“用”有直接和间接，当前与长远，是不宜用短视和狭隘的眼光看待的。数学是无所不在的“皇后”，它之“用”是同宇宙中所有一切事物和运动联系在一起的。人类的一切活动、思维和创造都离不开数学。数学也是在人类的这些活动中发展起来的。自从四色猜想被英国的一位绘图员弗朗塞斯•古斯里（Francis Guthrie）1850年提出后（这是一个重大发现啊），在一个半世纪的证明过程中已经极大地推动了拓扑图论的发展，同时也成了数学上的一场顶尖级智力竞赛，其意义不言自明。四色定理的价值和应用，我在《证明四色定理的新数学——图论中的锁阵运筹》一书的序文中，已作了初步论述和预测。现抄录于下：
    “在这里，还有一个问题，究竟研究四色定理有什么价值，何必在证明这个难题上花费那么大的功夫。我想：第一，无论解决任何一个数学难题，在这个过程中都必将推动数学的发展，以至于可能导致新的数学门类或分支的创立。从数学发展史上足以说明这一点。第二，解决难题，是数学领域（或智力领域）最高层次的奥林匹克运动，是向人类智力极限的冲击和扩展。第三，对数学在实际运用中的价值不宜抱有短视和狭隘的眼光。数学的发展和新数学的出现，在实际运用上的价值是有层次性的，而且往往要随着时间的推移和科学的进步才能逐步看得清楚。目前暂时没有实际运用价值的数学武器，说不定将来在什么时候和什么领域中可能发生意想不到的重大作用。第四，证明四色定理，难在思路和方法，也贵在思路和方法。如果我的这个证明能成立的话，那么，在证明四色定理过程中所采用的思路和方法——锁阵运筹所具有的方法论的意义，无论在自然科学和社会科学的研究中均具有启迪和借鉴的价值。我相信，经过有志者的进一步研究，锁阵运筹论可望作为一种21世纪世界上新兴的方法论自立于现代科学方法论之林。比如说，在现代经济牵一发而动全身的高难度调整中，可望提供出一种科学的运筹理论和方法。在社会学、心理学和一些自然科学中可能也会有重要的应用价值。作为一种猜想或者一种期望，同其他学科结合，甚至可能出现经济运筹学（或经济谋略学）、社会调控学、精神力学和技术生态工程（或技术环境工程）等一批未来新的学科。思之所至，姑妄言之，幸勿以狂谬见责。”
    在这里，我主要想强调它在现代方法论中的时代意义，即拓扑思维新的时代觉醒。
    什么是拓扑思维？简言之，就是应对思维。拓扑的本意（真义）是转换，转换是为了应对。现在我们在这里所进行的质疑（提问）和答问，其实也就是拓扑。拓扑学，从广义上说，就是转换、应对之学。同样，证明四色定理之“用”，是要经过拓扑转换，或直接融入实际工程，才能实现。在当代全球经济和社会的快速发展中，在国际风云际会中，各种应对和调控问题，极为突出，为历史上前所未有。诸多领域之间，包括人类与其生存和发展环境之间，实际上都存在着各种各样的“四色问题”，矛盾交错复杂，层出不穷，“按下葫芦浮起瓢”，此伏彼起。在经济层面上的反应尤为明显。解决这些问题都需要拓扑思维。放眼看，在历史和现实生活中，拓扑问题更是比比皆是。
    由此使我想到：拓扑思维与感性思维、抽象思维“三足鼎立”，共同形成了协调统一和网络状的高度自洽的思维体系。感性思维是源头，抽象思维是升华，拓扑思维是应对。在认识论中，这是一个亟待研究的大问题。我对四色定理的证明就是在感性思维、抽象思维和拓扑思维的腾挪中进行的。
    人类最初的拓扑思维，原本是一种本能的为了求生存和发展而应对环境的思维。在中国，拓扑思维从远古开始，一路洋洋洒洒，光彩耀目。到了春秋战国，达到了极盛状态。诸如天人合一之说，穷通变化之理，见微知著之察，由此及彼之思，修身、齐家、治国、平天下之论，中庸之道和各种应对之策，无不充满了或溶入了拓扑思维。易经和孙子兵法就是古代拓扑思维登峰造极之作。中国文字和古代四大发明无一不与拓扑思维密切相关。古希腊、罗马和西方也是这样。在人们的日常生活和活动中，在各个领域中，拓扑思维普遍存在，只不过往往处于初级的、朴素的、自在的状态。
    在以往认识论的研究中，主要讲感性思维和抽象思维，将有关拓扑思维的问题分散溶解在感性思维和抽象思维之中，形成了一个垂直的线状体系。现在看来，把拓扑思维分离出来，进行重组，作为一个相对集中和独立的三角形的一极来研究，是极为必要的。环观全球，这种趋势很明显。在一些发达国家中，诸如各种智囊、设计和预测、评估机构的林立，模型构建、沙盘推演等的广泛应用，以及博弈论的兴起等，已经凸显了这个趋势。同时也引起了对拓扑思维“脱缰”（脱离理性思维的制导）的隐忧。而学术界对拓扑思维的研究和重视，则相对滞后甚至很落后。这种不对称、不适应的状况亟需改变。
四色问题的证明是古老的，当前又是一个“冷问题”，很可能石沉大海，但冷和热是可以转换的。我期望对拓扑思维和广义拓扑学的研究能够兴起，放射出新时代的璀璨光辉。
我在这里提出拓扑思维，仅仅是想到了这个问题。拓扑思维有它自身的体系、范畴、运行机制、方法和表现形式，需进行系统深入研究（包括博弈、评估、预测、比较、选择、转换、调节、假设、摹拟、实验和反求等）。我认为，谋略是拓扑思维的中心环节。这是一片大有希望的开拓热土啊！
    借再证四色问题之机，我在文章末尾说了这番“多余”的话。这既是在证明四色问题过程中产生的联想，也是特意为之。我不是醉翁，乃在酒与山水之间也。
    四色诚可贵，拓扑价更高。四色沉大海，拓扑入云霄。哈哈。

附录：
（1）我在1992年所作的对四色定理的证明，见《证明四色定理的新数学——图论中的锁阵运筹》（北京科学技术出版社 1994年6月出版）。2009年据此写出的《四色定理简证——锁阵运筹理论及其运用》于2009年在《新科技》第12期发表（香港新科技中心出版）。两者均收入《4CC和1+1的证明——兼及关于宇宙和生命的思索》（北京理工大学出版社、中国华侨出版社2011年7月联合出版）。
证明中的终极图和得证图为：


（2）雷明2016年8月在中国博士网连续发表的5篇文章是：《四色猜测证明的备忘录》（2016年8月12日），《敢峰先生太伟大了——学习敢峰先生证明4CC有感》（2016年8月17日），《对敢峰先生二十次大演绎的剖析》（2016年8月17日），《对敢峰先生在4CC证明中的有关专业术语的建议》（2016年8月21日），《GM——图的构造方法》（2016年8月21日）。                   （完）

i注：此文同一天也在《中国博士网》上发表了。

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