【小题征答】一直角三形的一直角边a=15,求另一直角边b及斜边c的全部整数解。

trx

请用数学推理解：一直角三形的一直角边a=15,求另一直角边b及斜边c的全部整数解。

波浪

15,112,113；15,8,17。

trx

下面引用由波浪在 2011/04/25 04:54pm 发表的内容：
15,112,113；15,8,17。

敬请列出数据获得的数学推理过程！！
（另，还有解）

zy1818sd

勾股数通解公式:
在以下a、b、c、Q关系中，当取定a值后，如Q值使b=(a^2- Q^2)÷2Q 是整数，则a、b、c必是勾股数；
````a≥3、4、5 …
`{ b=（a^2-Q^2）÷2Q
````c= b+Q  
这里，使上式中(a^2-Q^2)÷2Q的值恒为整数的Q值条件是：
若a为≥3的奇数，在a^2的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a的因数积为Q。
若a为≥4的偶数，在a^2的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于a的偶数因数积为Q。
上式包含了全部勾股数，所以它是勾股数的通解公式。
勾股数再生公式:
如（a，b，c）是直角三角形边长的一组整解（勾股数）条件，且b-a≥1，如有：
```a1=2(a+c)+b
{ b1=2(b+c)+a
```c1=2(a+b)+3c
则此时的（a1，b1，c1）恒是平方整数解，且与原（a，b，c）b-a同差，具有相同的互素与不互素特性。利用本式可对同差直角三角形无限连求。
例如，任取一组勾股数（8，15，17）；这里b-a=15-8=7，根据定理关系可无限连求得到（65，72，97）；（396，403，565）是同差勾股数；
```a1=2(a+c)+b=65
{ b1=2(b+c)+a=72
```c1=2(a+b)+3c=97
例1．利用定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长整数解？
解：由Q的取值原则分解a2得到：15^2= 3^2× 5^2，所以有Q =1，Q =3，Q =5, Q =9；
取a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到
a= 15
{ b=（a^- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112
c= b+Q =112+1=113
所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2
再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到：
a= 15
{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36
c= b+Q =36+3=39
所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2
再取a为15，选增元项Q为5，根据定a计算法则得到：
a= 15
{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-5^2）÷10=20
c= b+Q =20+5=25
所以得到平方整数解15^2+20^2=25^2
再取a为15，选增元项Q为9，根据定a计算法则得到：
a= 15
{ b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-9^2）÷18=8
c= b+Q =8+9=17
所以得到平方整数解15^2+8^2=17^2

changbaoyu

   一定勾股数
世国庄严一大小·
先法下民开人桥·
解题明理方法快·
英出费马杯尔斯·
2011年04月26日·

changbaoyu

   奇偶公差一
已知奇性二中一·
偶即二倍八乘七·
一加偶求等差一·
十五定出公式由·
   偶奇公差二
三加4n方平加8n·
定即差二双奇求·
四ｎ加四明是偶·
ｎ为零等递归求·
2011年04月26日·

guanchunhe

设a=15,b,c是所求勾股数。
一   若a,b,c是素勾股数，那么，由于素勾股数最简公式
a=p(p+2q), b=2q(p+q), c=(p+q)^2+q^2.
其中：(p,q)=1 ,p为奇数，p,q均为正整数。
可推得a=15对应两组素勾股数组：a=15,b=112, c=113和a=15,b=8, c=17.
二   若ma=15是复合型勾股数(ma,mb,mc),那么，
由m=3推得 ma=15, mb=36, mc=39.
由m=5推得 ma=15, mb=20, mc=25.

trx

4楼zy1818sd 获得本帖命题4组解完全正确，可见此网友很行！！！
但其数学推理太复杂难懂，甚至使人莫名其妙？？！！
本帖命题之求解简单明了的数学推理如下：
解：当a=15时，a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=15^2，
15^2=225=1×225=3×75=5×45=9×25=15×15.
当225=1×225时，则c-b=1，c+b=225，解之得b=112，c=113.
则同理，还可得b=36，c=39，或b=20，c=25，或b=8，c=17。

trx

李金国，认真学习下本人8楼之解法，你将受益终身啊！！！

changbaoyu

数学明理公式求：
   奇偶公差一
已知奇性二中一·
偶即二倍八乘七·
一加偶求等差一·
十五定出公式由·
由：奇偶公差一和已知奇性二中一·
知：a=15，在勾股数性中是勾为奇数，必有另一奇数弦c为奇性，所以有：第一句。
当二奇数知其一，股偶的求法，有：
a／2=［7］+1，和a／2=［8］-1，2倍商相乘得b偶数，余即1方是一数，由公式自明，
故有二句与三句。
第四句：因15是给定之数，而奇数公式：2n+1，都可表示出，则n是7。【奇偶公差一】的勾股弦公式，是：
a=2n+1，b=2n（n+1），c=b+1。知n得求：b=112，c=113。
                             ·玉·2011年4月27日星期三·



[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
据其：
   偶奇公差二
三加4n方平加8n·
定即差二双奇求·
四ｎ加四明是偶·
ｎ为零等递归求·
2011年04月26日·
有勾股数组为【偶奇公差二】的公式：
a=3+4n²＋8n=4n﹙n+2﹚＋3，
b=4n+4=4﹙n＋1﹚，
c=5+4n²＋8n=4n﹙n+2﹚＋5，【n≥0】
当n=1时，得知：b=8，c=17，是所求。
                   2011年4月27日