我最近与张彧典先生的讨论记录

雷明85639720

我最近与张彧典先生的讨论记录
雷  明
（二○一七年四月十日）

    最近我写了《“十五点形”是最基本的H—构形》，《H—构形的不可免集》和《H—构形的不可免集（修改稿）》几篇与张先生共同商讨的文章，并看到了张先生的回复。现将我们的讨论抄录如下：

4，8，张彧典先生回复我的《H—构形的不可避免集（修改稿）》：
    雷明先生在2017-4-8《H—构形的不可避免集》（修改稿）一文中谈到：
    “要使H—构形能够得到解决（即可约），必须把H—构形转化成K—构形，然后再用坎泊使用过的交换方法去进行解决。划分不同的H—构形，主要要看图的结构上的特点与不同之处；而不能只看其着色方法（解决办法）是否相同。我从图的结构上去分类，H—构形主要分为图1中的四类，而c类和d类只是左右有的区别，实际上还是同一类。”
    我认为，这种说法是有问题的。
    1）、第一句大体上说没有问题，只是“坎泊使用过的交换方法”比较笼统，应该具体归纳为几类。我就是按照周期循环的“H-M染色程序”把“H—构形转化成K—构形”的方法归纳为4类。
    2）、第二句“主要要看图的结构上的特点与不同之处”来“ 划分不同的H—构形”， 是一个不确定的判断，因为你的4个构形不是最小构形，所以是一个无穷多的构形，比如，我在《四色猜想陷阱之“H-M染色程序”法弥补》以及【附录2】《放大构形的异化现象》中的图11，与你的哪个构形结构相同？是否确定为第五类呢？
    所以我始终认为：寻找像武际可教授所说的“一种有效的确定的染色方法”以及按照Kempe“最小构形思想”确立最小不可避免构形集才是解决四色猜想证明陷阱问题的基本思路。



4，8，我回复（一）：
张先生：
1、难道坎泊用过的方法是什么你不知道吗，还要归纳几类干什么呢。坎泊所用过的交换方法，不就是直接从5—轮的轮沿上空出一种颜色的交换吗。但坎泊的交换有多种，然而坎泊只用了他用过的一种——空出颜色的交换。另外，坎泊的交换方法，还有断链交换和转型交换，坎泊不但没有用过，他也是不知道他的交换方法还有这么多种作用的。
    2、你总结的方法不就是坎泊交换方法中的一种——转型交换嘛，那来的四种方法呢。
    3、你总是强调构型最小，但你的最小已使得Z1不是不能同时移去两个同色B的H—构形了。
    4、你的附录（二）中的图11，不就是我的四个图中的c类或d类吗，他们都有连通且相交叉的的A—C链和A—D链，不能同时移去两个同色，又没有环形链，A—B链和C—D链都是直链（一条道路）。解决时，只要从顶点1B或顶点3B交换B—D或B—C，就可以使图变成可同时移去两个同色的构形或有一条环形链的如我的b类（或你的Z2）构形。
    5、请张先生按我的方法去做（我知道按你的方法也是一定能着上图中已用过的四种颜色之一的），你这个图11中的待着色顶点V一定也可以着上图中已用过的四种颜色之一的。
    6、如果你还着不上颜色，请说一声，我给你按我的方法把它着上。
4，8，我回复（二）：
张先生：
1、你的图11，我今天是第一次按你的指点路径看到的。它虽与我的c图与d图稍有差别，但都是最小的十五点形。只是我的除了九个基本点外的其他顶点都在2A—6C—8A—7D—2A圈外，而你的这些顶点都在该圈上和其内。
    2、你的图11与我的c类和d类的图在结构上是一模一样的，当然解法也就是一样了。
    3、你的图11，与你的第八构形从结构上讲，实质上也是一样的。我又一次高兴的看到了你的图11与我的构形集中的图是相同了，这说明我们的距离是越来越小了。

4，9，张先生回复：
雷明先生：
   1）、你说我的Z1构形不是H反例构形，我不理解。理由是：在我的论文《困难情形解析》中的图1、图2，是引了《图论导引》中的构形，图1是两个环不相交，这是肯普证明了的，可以称为K构形；图2是两个环相交，是他没有证明了的，所以我就把这一类构形称之为H构形。退一步说，图1的解法与K构形解法是有差别的，我在论文中已经做了分析。
  2）、你说我的4种方法，就是论文对于4个构形详细解答中的4种染色程序呀。这种周期循环的染色程序就成为武际可教授希望得到的有效算法。
  3）、你说只能按照构形的结构不同分类，但是你把我论文中的图11与你的4个构形归纳为一类，理由是点数相同，解法相同。这不是自相矛盾吗？其中你说的点数相同，是不是结构就相同？构形的结构是指由点、边组成的图形，两个基本元素缺一不可。
  4）、你的4类构形都是我的构形之放大构形，包括我的图7-13等等。我记得你在评论我的9个构形（大概早在2010年时）就说过我的9个构形是不够的，还可以画出很多，永远也画不完，可是现在却只画出4个放大的构形呢？我始终认为，只有最小构形才是唯一的可以
确定的。这是肯普最小思想的高明之处！

4，9，我回复：
张先生：
1、你的Z1构形是同时可以移去两个同色B的构形，所以不是H—构形，而是K—构形。虽有两个环相交叉，但是可以同时移去两个同色的。能同时移去两个同色的就是K—构形。
    2、你说我的图是你的放大，我说你的图是我的图的缩小。我的图顶点数减少后，a和b就分别成了你的Z1和Z2，你的Z3和Z4顶点数减少后也就是Z1，而我的c和d顶点减少后则是你的图3—1或图3—2，他们也都是可以同时移去两个同色的构形，是K—构形，而不是H—构形。
    3、你的图11，不但与我的图的点数相同，更重要的是与我的c和d的结构是相同的，所以它应是这一类。
    4、我说的“永远也画不完”是按你的“解法相同”的原则而说的，并不是按结构上的特点而言的，我现在从不同的结构特点上去分，四有这四类，又有什么不可以呢。
    5、我把你的图11归为我的图c或图d，是因为结构相同（当然点数不是主要的），只要是结构相同，当然解法也就相同了，这不对吗。有什么自相矛盾的呢。
    6、结构相同，主要看的是链，而不是点和边，也不一定都非得是三角剖分图。我认为有两条相交叉且连通的链，是不可变的。另外只要含有123—BAB型构形中的经1、2、3（或8）的A—B环形链者，就是我的a构形；只要含有过4，5或6，7的C—D环形链者，就是我的构形b，也是你的Z2构形和你的第二构形；只有以上两种环形链一条也不含者，就是我的构形c和d。这不很明白吗。9个关键的顶点都谈到了吧，除此之外的顶点有与无都是无关紧要的。但不能为了达到顶点数最小，把可以同时移去两个同色的构形也叫做H—构形。你的Z2是H—构形，但Z1就不是，因为它能同时移去两个同色。。
    7、这样的交换很好，我非常的欢迎。

4，9，张先生回复：
雷明先生：
对于我的Z1构形的解法与K构形的解法根本区別在于：消去B1色后破坏了已知的A一D环，改道生成新的A一D环，才实现了消去B2。这就不能叫同时消去两个B。我记得敢峰先生l985年那本书中就讨论过。

4，9，我回复（一）：
不管怎么说，只要交换两次，能消去两个B的构形，就不能叫做H—构形，而是K—构形。你不是也说过，不能同时消去两个同色是H—构形的主要标志吗。
4，9，我回复（二）：
只要能实现消去两个同色B，不管什么改道不改道，实现了把B着给待着色顶点就行。坎泊移去两个同色B时，不也是只交换了两次吗。你看看你解决其他的H—构形时，那一个交换的次数不大于2呢（当然不能抱括你不是H—构形的Z1，图3—1和图3—2）？

4，10，我回复（一）：
张先生：
难道我的构形不是最小的吗，如果再往下变，不就成了九点形了吗。九点形中除了你的Z2构形外，Z1构形，图3—1，图3—2不就都是可同时移去两个同色B的、非H—构形的坎泊构形（K—构形）了吗。你的Z1，Z2，图3—1，图3—2如果是最小构形的话，你的Z3和Z4都与Z1有同样的结构——都有环形的A—B链，你怎么不把它两个也归入Z1呢，它两个是最小构形吗。最小构形要有一个适应的条件：对K—构形而言，其最小构形就是5—轮以及可以同时移去两个同色B的九点形（你的Z1，图3—1和图3—2）；对H—构形而言，其最小构形就是我的十五点形和只有一个不可同时移去两个同色B的九点形（你的Z2），你不要生硬的在那里去搬最小构形几个字。我只是为了统一，也把Z2画成了十五点形，但这并不是说Z2就不是H—构形了，它仍是不可同时移去两个同色H—构形。
4，10，我回复（二）：
张先生：
你一直强调的是解法相同，构形最小，但你的Z1，Z2，Z3都是用的颠倒法解决的，为什么到了Z4颠倒法就不行了呢，以用了所谓的Z—换色程序呢。所谓的Z—换色程序，不就是有很早以前的1992年前敢峰先生所用的方法吗，米勒没有把Z4解决，但敢峰解决了。中国人，真了不起，真是伟大。这能叫解法相同吗。而按我的构形集，每一个构形都有自已的特点，都有自已的单独解法。你的Z3，Z4也就归入我的a类构形了。同一类构形的解法是相同的，难道你对这个说法还有怀疑吗。你能在我这四个类型以个再找出另外的类型吗。

4，10，张先生回复：
《雷明的构形集分析》
下面给出的是雷明先生确立的4个不可避免H-构形。
现在，我们进行客观分析。
    对于a ,相交的A-C环、A-D环呈现双环套叠形式，这种重叠就是多余的；再按照最外边的两个相交环看，A-B环包含于其中，显然与我的Z1构形的“结构”【作者注：雷明先生定义的“结构”他说是指色链的组合】一样，可以归纳为我的Z1构形，所以图a是Z1的放大。雷明先生多次说过，我的Z1构形不是H-构形，由此推理，他的a也不是H-构形了。
    对于图b , C-D环包含于大的A-C环、A-D环内，显然与我的Z2构形的结构一样，所以可以归纳为我的Z2构形。
对于图c , 8A-B1链包含于大的A-C环内，6C-D4链包含于大的A-D环内，结构与我的图3-1一样，所以可以归纳为我的图3-1 ；
    对于图d ,按照左右对称性，如图c分析,可以归纳为我的图3-2 。
按照图a的分析结论，图c、d也都不是H-构形了。
    综上所述，你的15点式构形都是我的9点式构形Z1、Z2的放大式。我始终认为Kempe“要证明四色猜想成立，只要证明不存在最小5色地图即可”的最简构形思想是正确的。因为只有最小构形才是唯一的、可以确定的。
    雷明先生的15点式与9点式结构相同，却点数增加，相当于把必要的色链无限制地拉长，还可以出现3重、4重甚至多重A-C环、A-D环相交情形的复杂情形，这样就能画出无数个。按照这样的思维，永远也不会证明四色猜想的。

4，10，我回复：
张先生：
1、我的构形集中a、b两类最外圈的A—C边和A—D边完全可以不要，只是为了与c、d两类的图变成相同的样子，才加上的；其实c类左边的A—C边也可以不要，d类右边的A—D边也同样可以不要。b类完全也可以与你的Z2画成一个样子，因为他们都是H—构形。但为了把他们都变成三角剖分，图又都可以成为十五点形，所以就都加上了。若不加上也好，就更是任意的图了。
    2、你的Z1与我的a类不同的地方在于：我的a类是不能同时移去两个同色的H—构形，而你的Z1却是可以同时移去两个同色的K—构形。我的a类可以交换A—B环形链内、外的任何一条C—D链，使图变成K—构形。你的Z1可以这样交换吗。你的Z1本来就是K—构形，所以它是可以同时移去两个同色的。
    3、我的b类构形完全可以与你的Z2画成一个样子，上面的1中已经说到了，这里不再重复。但我从没有说过我的b类与你的Z2不是同一个构形。
    4、我的c类和d类与你的图3—1和图3—2是根本不一样的。我的不能同时移去两个同色，而你的却能同时移去两个同色，这就是最大的区别。我的是H—构形，而你的是K—构形。
    5、H—构形，必须要有两个条件得到满足，缺一不可。这两个条件是：一是有两条连通且相交叉的连；二是不能同时移去两个同色。这两条一条不满足，就不是H—构形而是K—构形。你的Z1，图3—1，图3—2，都不满面足第二条——不能同时移去两个同色。既然是可以同时移去两个同色的，当然就是K—构形，而不是H—构形了。你的图13在进行了一次颠倒后所得到的图，就是一个没有两条连通的相交叉链，但却不能同时移去两个同色的图（见另文），不能把它因为不能同时移去两个同色而认为是H—构形，它仍然是一个是K—构形。

4，10，张先生回复：
我记得有文献说过，要证明四色猜想，构形必须是极大平面图，即三角剖分图。

4，10，我回复：
张先生：
极大平面图只是平面图中的一种，证明了它，最后还得通过语言说明，“对极大图通过去边减边所得到的任意平面图的色数只会减少而不会再增加”，才能得出任意平面图的着色数都是不大于4的，四色猜测才是正确的。如果不转到任意平面图上来，就不能算作证明了四色猜测。现在不用极大图（三角剖分）能证明任意图都是可4—着色的，不是更好吗。

4，10，张先生对我的《就H—构形的不可免集与张彧典先生再商榷》一文的回复中说：
应该明确同时移去与先后移去两个概念的不同，希望你请教一下敢峰先生吧。
4，11，张先生又回复说：
对于H-构形的定义，我们的认识是不一样的，我认为只要符合两个环相交这一个条件的就是H-构形；你却是两条，所以不能统一。那么还有什么争论的必要呢？各自为政吧。

4，11，我回复：
张先生：
1、同时移去，也是要分一个先后次序的，对于你的Z1，那一个在前，那一个在后都是无所谓的；虽然你的图3—是和图3—2交换时是要有先后次序的，但也都达到了同时移去两个同色的目的了嘛，还这有什么不同的呢。怎么又是两个不同的概念了呢。
    2、关于H—构形的定义，你以前也说过，不能同时移去两个同色，还是一个重要的条件，怎么现在又只成了只有一个条件——有两条相交叉且连通的链了呢。
    3、敢峰先生说的也不一定都是对的，我自已有自已的头脑，要自已去进行分析的。
    4、既然我们现在才明确了是对H—构形的定义有分岐，那也就只好各自保留各自的观点吧。那怕你仍坚持你的八大构形也不是不可以的。
    5、但我还要告诉你，你的分类原则和方法是错误的，你也没有证明你的集合是完备的，或者说你的所谓证明是不充分的。

4，13，张先生对我的《请教张彧典先生一个问题》一文回复如下：
其实，第一图a是A-C、A-D两个环相连的情形，不是相交，也不是相离，是两种情形的过度，还是一个属于两个环相离的K构形。这种情形在我的《四色问题探秘》第8章中米勒构形的放大图包含了，看下面图示：
    其中，A1色点就是两个环的相连点，A2色点就是其相交点，但是仍然不影响用Z染色程序求解。
    对于b,只是两个环的位置左右对称地交换了一下，仍然属于我的Z1构形，用“H-M染色程序<一>”求解就是了。
    A2是指红色点、绿色点所在色链的交点A，特此纠正。

4，13，我回复：
张先生：
我这里主要说的是a图，b图只是我把a看成是H—构形时，利用图中有环形的A—B链的特点，交换了顶点4和5的C—D链的结果，我已经说了它就是Z1的。a图本来也就是一个可以同时移去两个同色B的K—构形，只是我的文中没有画出如何同时移去两个同色的。我不知道你为什么一定要把一些可以同时移去两个同色的图也要看成是H构形呢。

4，13，张先生对我的有关H—构形的不可免集的文章回复说：
下面4个构形就是雷明先生的不可避免集。
究其根由，是下面构形的派生：
就是图示中的红色点A（D）与A（C）的4种不同组合。
其实15点式还是复杂，可以简化为13点式：
方法是去掉上面第2图中的粉红色C、D色点，这样就变成13点式构形，如下图所示：
在左右对称的两个粉红色已经4染色的四边形中，存在绿色点、蓝色点两条相反色链的4种不同组合，一定派生出4个13点式不可避免构形集。
在得到15点式构形时，除了选择红色点A（D）与A（C）的4种不同组合外，也可以选择第2图中两个绿色点B（D）与B(c)的4种不同的组合。
如上所述，按照雷明先生H-构形的定义，4个构形只有一个构形即H-反例构形是符合定义的。

4，13，我回复：
张先生：
1、请你看看你那个十三点式的图是十三点吗，我看它就是无数多点，就这你还嫌我的十三点多了吗。如果你图中的那些兰绿点不算顶点，那么你那个图从顶点B1交换B—D链后，能生成从顶点B2到顶点C1的连通的B—C链吗。显然是生不成的嘛。既然生不成连通的B—C链，那不就可以同时移去两个同色B了吗。这怎么能算是一个H构形呢。
    2、你说：“以上分析可知，13点式、15点式构形都是9点式构形的放大，还可以继续放大，得到无穷多的放大构形。”这是对的，就要考虑这样的链间的相互关系相同，但顶点数是无穷多的图，这才是非具体的图，用这样的图进行证才叫真正的证明。但你的九点式的确除了Z2外，其他的Z1，图3—1和图3—2都是K—构形，而不是H—构形。只有Z2是不可同时移去两个同色的构形，而其他三个则是可以同时移去两个同色的构形。
    3、你的Z3和Z4显然与我的a是一类，你却硬要把它们分别单独划为一类。用我解决a类的办法，可以解决你的Z3和Z4，但你的Z1的解决办法能解决你的Z3和Z4吗。
    4、你一直主张构形最小，但你也不能小到成为非H—构形。你的构形集中，至少有三个是可以同时移去两个同色的K—构形，而我的构形集中你能找到那一个是可以同时移去两个同色的构形吗。既然是不可免的H—构形集，那么就不应该在其中再有非H—构形的出现，这才叫真正的H—构形的不可免集。这个集合就是我给出的那个集合，并不是你所给出的集合。
4，13，我又对张先生回复如下：
张先生：
1、你过去与我在谈到H—构形的条件时曾说过，“‘不能同时移去两个同色’还是一个重要的条件”呢，而你现在又说“对于H-构形的定义，我们的认识是不一样的，我认为只要符合两个环相交这一个条件的就是H-构形；你却是两条，所以不能统一。那么还有什么争论的必要呢？各自为政吧。”我想问先生，什么是H—构形呢，不就是类似赫渥特图的构形吗。赫渥特图是什么呢，它的特点是什么呢，不就是不能同时移去色B吗。可同时移去两个同色B的构形，坎泊不是在1879年早已解决了吗。不能同时移去两个同色B的构形，不就是因为图中有了两条连通且“相交”的链A—C和A—D，才造成的吗。而你现在在定义H—构形，又把这一条去掉，那还能叫做H—构形吗，还能叫做类似赫渥特图的构形吗。
2、在你的《四色问题探险秘》一书中，从头到尾，在你所谈到的H—构形中，没有看见过一个H—构形在你的C2和D2间还有别的顶点的，都是一条边。这样也才能造成从顶点1交换B—D时，一定会产生从顶点3到顶点5的B—C链，也才能造成从顶点3交换B—C时，一定会产生从顶点1到顶点4的B—D链，而不可能同时移去两个同色。但就是在最近，你却出现了一个图3—7，该图明显的在C2和D2间有一个着B的顶点，该图是完全可以同时移去两个同色B的，你却把它也当作H—构形在进行研究，不觉得不合适吗。
3、正是因为H—构形必须有两个条件，所以我的构形集中最小的H—构形的顶点数有九点的，有十五点的，且边数也是多少不一的。b类的顶点数和边数都是最少的，是一个“九点形”图；a 、c、d三类的顶点数一样多，都是“十五点形”图，但a类的边数却比c、d两类要少一条。除了我的b类构形和你的一个Z2—构形外，所有的“九点形”都是K—构形而不是H—构形。
4、我希望你看清楚H—构形的构成的必要条件是两条而不是一条。要看到按图中各链的相互关系的特点去对H—构形进行分类是正确的，也要看到单纯的只用解决办法相同的去分类是错误的。
4，14，我再次回复张先生：
张先生：
1、既然不能同时移去两个同色是因有两条连通且相交的链A—C和A—D引起的，那么就得想办法尽早的从图中消除这两条链的连通性。我所构造的构形集能做到这一点：我的a类构形和b类构形一次交换就可以达到目的，再交换一次就可以给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一；c类和d类构形，最多两次交换就可以大到目的，再交换一次也可以给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一。而你的构形集中除了Z1—构形和图3—1和图3—2的构形交换一次可以达到目的，再交换一次就可以给待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一外，其他的构形要达到断开A—C和A—D链的目的时，却至少得要交换三次以上，做不到一次交换就能达到断开交叉链，再交换一次就可给待着色顶点着上颜色的目的。况且你的这个Z1—构形和图3—1和图3—2的构形根本就不是H—构形。
2、举几个例子，你的Z1—构形用了两次交换，Z2—构形用了三次交换，Z3—构形用了四次交换，你的第八构形（即你说的图3—1和图3—2的扩大）总共用了九次交换，而第九构形（即你的Z4—构形）却得用无数次交换，这能实现得了吗。这就是你的H—M换色程序的缺点，或者说是你的连续颠倒法的缺点。用你的H—M换色程序，对第九构形没有办法解决，你就来了一个张氏Z—换色程序，对第九构形进行了着色。而你的Z—换色程序与我解决我的a类构形的方法是完全相同的，不也都是交换A—B环形链内、外的C—D链吗。何况这个方法是人家敢峰先生在一九九二年以前就已经提出、并使用过的给敢峰—米勒图（也即你的Z4—构形）的着色方法吗。你怎么能起名叫张氏Z—换色程序呢。

4，14，张先生回复了我刚发的《这几天我对张彧典先生的回复》一文：
雷明先生，您好。
    看了你的这篇博文，令人费解： 为什么不能像你与敢峰先生交流时那么平等地把互相交流的内容同时发表呢？看来你对待人是用了双重标准，这样做公平吗？！
    我的看法对不对？让四色网友们评论吧。

4，14，我回复：
我与你的交流不都有在网上吗。我已把我们的交流整理出来了，就待上网，你不要急嘛。

雷  明
二○一七年四月十四日于长安整理完

注：此文已于二○一七年四月上日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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