我的H—构形集四个最小构形的来历

雷明85639720

我的H—构形集四个最小构形的来历
雷  明
（二○一七年四月十四日）

我的H—构形的四个最小构形的来历如下：
一个123—BAB型的5—轮构形的围栏外有两条连通且相交叉的A—C链和A—D链（如图1，a），这是构成H—构形的最基本的条件；由于A—C链和A—D链的连通，所以其相反色链B—D和B—C就不可能再连通了（如图1，b）。另外，构成H—构形还有另一个条件，即不能同时移去两个同色B，否则就是K—构形了。

A—C链和A—D链是不能交换的，B—D链和B—C链交换了也空不出颜色来，现在就只能考虑的A—B和C—D两链间的相互关系。考虑到只有在顶点6和7之间再没有别的顶点时，才可能产生不能同时移去两个同色的情况，所以我们在画图时，就直接把顶点6和7之间画成一条单边。A—B和C—D两链间的相互关系只能有以下几种情况：① A—B链是环形的，经过了关键顶点1，2，3和8，分C—D链为环内、环外互不连通的两部分（如图2，a）， ②C—D链是环形的，经过了关键顶点4，5和7，8，也分A—B链为环内、环外互不连通的两部分（如图2，b），③A—B和C—D两链都是直链（是一条道路），过关键顶点的链没有环形的（如图2，c和图2，d）。


由于B—D链和B—C链可以与A—B链和C—D链相互穿过，为了使从顶点1交换了B—D后，能形成从顶点3到顶点5的B—C链，和从顶点3了交换B—C后，也能形成从顶点1到顶点4的B—D链，四个图都不可同时移去两个同色B，需要把图2中的四个图再变化成图3的四个图。
    图3中，任何一个图，从顶点1交换了B—D链后，都可产生从顶点3到顶点5的连通链B—C，从顶点3交换了B—C链后，也都可产生从顶点1到顶点4的连通链B—D，都不能同时移去两个同色B。
为了达到使构形最小化，顶点数达到最小，并把图变成三角剖分图，图3就变成了图4。图4就是我的H—构形不可免集中的四个最小的H—构形。

这四个图各不相同，各有各的单独解决办法：图4，a有环形的A—B链，分C—D链为互不连通的两部分，交换A—B环形圈内、外任一部分C—D链，都可以使图变成K—构形；图4，b有环形的C—D链，分A—B链为互不连通的两部分，交换C—D环形圈内、外任一部分A—B链，都可以使图变成K—构形；图4，c和图4，d中没有任何环形链，A—B链和C—D链都是直链。两链都不能交换，就是交换了也不起任何作用。现在只能考虑B—D链和B—C链的交换了。但这两条链又不能都交换，也不能同时移去两个同色B。既然不同都交换，那么，就可以先交换一个，先移去一个B，使构形由123—BAB型转化成451—DCD型构形或345—CDC型构形，再进行处理。交换的结果，图将由一个H—构形转化成可以同时移去两个同色D或C的K—构形，或者是转化成类似于图4，b的类赫渥特图型的H—构形，然后再按图4，b和解决办法解决就行了。
图4中的四个H—构形都是最简（最小）的H—构形。如果顶点数再减少，则就成了如图5的“九点形”图构形了。图5的这四个图中，除了右上图（有环形的A—B链）一个是H—构形外，其余三个全都是可以同时移去两个同色B的K—构形，而不再是H—构形了。右上那个H—构形，就是张彧典先生的Z2—构形，即我的a类构形的再缩小（再简化）；其余三个图分别是张先生的Z1—构形和图3—1、图3—2构形，它们都可以同时移去两个同色B。

张彧典先生的Z3—构形和Z4—构形，由于其中都有环形的A—B链，所以是属于我的a类的有一条环形A—B链的H—构形之中，解决的办法也都是交换C—D链，使图变成K—构形；同时由于Z4中还有环形的C—D链，所以Z4也可以归入我的b类的有一条环形C—D链的H—构形之中，解决的办法也都是交换A—B链，使图变成K—构形。
这就是我的H—构形集中四个最小构形的来历。

雷  明
二○一七年四月十四日于长安

注：此文已于二○一七年四月十五日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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