无割边3—正则平面图可3—边着色的验证

雷明85639720

无割边3—正则平面图可3—边着色的验证
雷  明
（二○一七年四月十五日）

设有n个面的无割边的3—正则平面图是可3—边着色的，那么当面数是n＋1时，其是否也可以可3—边着色呢，验证如下：
要把一个面数为n的无割边的3—正则平面图的面数增加为n＋1个时，把图中某一个面分成两个就可以达到目的。一个边数是m的面，在其中任两条边中各取一个点a和b，并把a和b用边相连，a和b就变成了两个新的“三界点”，图中就增加了一个面，也增加了三条边（如图1）。只要证明这个图还是一个无割边的3—正则图和仍是可3—边着色的就可以了。

    1、证明这个有n＋1个面的图仍是3—正则图
从整个3—正则平面图来说，增加了两个顶点，三条边，图顶点数仍是偶数，边数仍是顶点数的1.5倍。但无割边的3—正则平面图还有一个特点不能忘记，即奇数边面的总个数一定是偶数，才能满足边数是整数的要求。已知原来的图中奇数边面的总个数是偶数，则：
1、1  若取点a和b的边的两个邻接面A和B原来都是偶数条边时，现在则都成了奇数边面，偶数＋2仍是偶数，奇数边面的总个数仍是偶数：
1、2  若A和B原来都是奇数条边时，现在则都成了偶数边面，偶数一2仍是偶数，奇数边面的总个数仍是偶数：
1、3  若A和B两面原来的边数是一奇一偶时，则现在仍是一奇一偶，奇数边面的总个数没有发生变化，仍是偶数。
可见，A和B这两个面的边数的改变对3—正则平面图中的奇数边面的总个数并无影响。
现在再看一看被分开成两个面的那个面：
1、4  若被分开成两个面的面原来是奇数条边时，现在的边数仍是奇数条，只能分成一个奇数边面和一个偶数边面。这等于说图中减少了一个原来的奇数边面，除了增加了一个偶数边面外，又增加了一个奇数边面，相当于图中奇数边面的总个数并未发生变化，仍是偶数；
1、5  若这个被分开成两个面的面原来是偶数条边时，现在的边数仍是偶数条：
一种情况是分成两个偶数边面，图中奇数边面的总个数仍没有发生变化。
另一种情况是分成两个奇数边面，等于说图中减少了一个原来的偶数边面，但又增加了两个奇数边面，但偶数＋2仍是偶数，奇数边面的总个数仍是偶数；
从这两个方面来分析，结果都是图中的奇数边面的总个数仍是偶数个。这就说明了原来图中的奇数边面的总个数是偶数，现在仍然是偶数，符合无割边3—正则平面图的要求。该图仍然是一个无割边的3—正则平面图，说明了有n＋1个面的图仍是一个无割边的3—正则平面图。
2、证明这个有n＋1个面的图仍是可3—边着色的图
现在再来看看a和b两点所在的边原来所着的颜色对该无割边的3—正则图的3—边着色有什么影响：

图中因为增加了一个面而增加的两个顶点，虽不能单独构成一个偶圈，但它却是原来图中两条边上的顶点（如图2和图3）。
2、1  两条边原来着色不同的情况：
如果a点所在的边原来着1色，那么这条边一定既是1—2—1边2—色圈上的一条边，又是1—3—1边2—色圈上的一条边；如果b点所在的边原来着2色，那么这条边也一定既是1—2—边2—色链圈上的一条边，又是2—3—2边2—色圈上的一条边；两条边共同都是1—2—1边2—色圈上的边；这条1—2—1边2—色圈上增加了两个顶点，同时也增加了两条边，仍是偶数，还是一条偶数的边2—色圈；所增加的这两条是位于原圈上的边，在1—2—1边2—色圈中，对位于a和b两点同一侧的所有边进行1、2二交换后，一定能给a和b两侧所连的边着上1或2两种颜色（这种对1、2二色的交换与原先着有颜色3的边并无任何关系，并不影响他们的颜色）。给所增加的、把原来的面分成两个面的a—b边着第三种颜色3就可以了（如图2）。


2、2  两条边原来着色相同的情况：
如果a和b两点原来所在的边都着2色，那么这两条边共同都是1—2—1和2—3—2两种边2—色圈上的两条边，这里我们只取一种2—3—2边2—色圈，虽增加了两个顶点，但也同时增加了两条边，该边2—色圈仍是一条有偶数边的边2—色圈。与以上图2中的处理办法相同，所增加的两条边，也一定能着上2或3两种颜色，所增加的把原来面分成两个面的a—b边，也可以着上第三种颜色1（如图3）。
以上两点实际上只是对a和b所在的两条边不仅是处在同一种边2—色圈上而言的，而是a和b所在的两条边又是处在同一个边2—色圈上而言的。我们知道同一种边2—色圈并不是只有一个，若a和b所在的两条边是处在不同的边2—色圈的情况下时，又将如何处理呢。我们来看下面的图4。
2、3        两条边原来不在同一个边2—色圈上的情况：

在图4，a中，a和b两点所在的边原来就不在同一条1—2—1边2—色圈上，这时我们可以把其中一个边2—色圈上的各边的颜色1和2进行互换，得到如图4，b的图，这样的交换对着色为3的边同样并无影响。我们发现，由于这一交换，图4，b的图中，虽然a和b两点所在的边仍处在不同的1—2—1边2—色圈上，但却又处在了同一条1—3—1（或2—3—2）的边2—色圈上了。这时，就与以上2、1和2、2中所谈的情况完全相同了，可以用同样的方法进行处理。最后得到可3—边着色的图（如图4，c）。
这也就证明了任何一个无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的。
以上我们是对有n＋1个面的无割边的3—正则平面图进行证明的，同样的也可以对有n－1个面的无割边的3—正则平面图进行证明是可3—边着色的。这只要从有n个面的图中去掉一条边即可办到。
现在已经证明了无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的，这也就等于验证了任何无割边的3—正则平面图也都是可3—边着色的结论是正确的，也就验证了任何无割边的3—正则平面图都是可4—面着色的结论也是正确的。最终也就验证了地图四色猜测是正确的。


雷  明
二○一七年四月十五日凌晨于长安

注：此文已于二○一七年四月十六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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