ab=c^n 问题

谢芝灵

ab=c^n  中，a、b、c为三个正整数，a和b互素，n为大于1的自然数。

求证：  a=(c1)^n;    b=(c2)^n   ,其中C1、c2为两个正整数。

朱明君

a=4,b=9,c=6^2        
a=144,c1=12^2
b=324,c2=18^2

谢芝灵

朱明君 发表于 2017-4-18 06:43
a=4,b=9,c=6^2        
a=144,c1=12^2
b=324,c2=18^2

这定理看似合理正确，证明起来还有点费事。
我初中做费马大定理时遇到的，我还证明了。

朱明君

谢芝灵 发表于 2017-4-18 07:04
这定理看似合理正确，证明起来还有点费事。
我初中做费马大定理时遇到的，我还证明了。

证明很简单

谢芝灵

朱明君 发表于 2017-4-18 08:33
证明很简单

试一下吧

angel_phoenix99

根据唯一因子分解原理呀

设c=Π(mi)^pi，其中mi为不超过c/2的质数，这个是唯一存在的

(a，b)=1
对某个i
(mi)^pi必须独立分配给a或b

因此a=(c1)^n，b=(c2)^n

我都把楼主的命题当公理用的

angel_phoenix99

c是质数时，就只能分解成1^n和c^n

xfhaoym

因为ab=c^n ,所以c=(ab)^1/n. 所以 a=c1^n,和b=c2^n.才能使c为整数.

谢芝灵

xfhaoym 发表于 2017-4-19 00:02
因为ab=c^n ,所以c=(ab)^1/n. 所以 a=c1^n,和b=c2^n.才能使c为整数.

因为ab=c^n ,所以c=(ab)^1/n. ==== 正确！

所以 a=c1^n,和b=c2^n.才能使c为整数.=== 不一定正确！

谢芝灵

angel_phoenix99 发表于 2017-4-18 22:24
根据唯一因子分解原理呀

设c=Π(mi)^pi，其中mi为不超过c/2的质数，这个是唯一存在的

这是个定理，`不是公理。须要证明的。
所以，中间的很多要证明的。不是一句必须就行的。