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简介哥德巴赫猜想解的公式【转载】
简介哥德巴赫猜想解的公式.....qdxinyu.20050630
`````哥德巴赫猜想就是：每个大于4的偶数都是2个素数之和。
例如：6=3+3,8=3+5,10=3+7=5+5,12=5+7，14=3+11=7+7，……。
```偶数的对称素数就是：“不大于该偶数且对称于该偶数正中间数
的素数。”对称素数就是符合哥德巴赫猜想的素数。
哥德巴赫猜想的证明,就是要证明“偶数内对称素数的个数不小于1”。
先介绍用筛法找出偶数内对称素数的方法。
筛法：是把包含在数中的数有选择条件的去掉一些，留下一些。
双筛法：把包含在偶数中的数从中间对折，分前半截，后半截：上，下二行。中间数起往大的数筛（正向筛）。中间数起往小的数筛（反向筛）。上行，下行删除一个素数的所有倍数（称为筛该数）
筛时，上，下同时筛（不论筛上，筛下；有筛数就筛上，下一对数）
用偶数开方内所有素数一一筛过后，剩下的数为对称素数。即G（x)
对给的偶数,只考察其中的奇数,
例1： 对0到44间的数。
删去偶数，留得44·（1/2）=22个奇数，
对21，19，17，15，13，11，9， 7， 5， 3， 1。 每3个删去第1对，
对23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43。 每3个删去第3对，
留得8个对称的数，
对19，13， 7，1 每5个删去第4对，
对25，31，37，43每5个删去第1对，
留得4个对称的数22-15=7,22+15=37,22-9=13,22+9=31
公式:
``````````1```1````3
G(44)=44·--·--·---≈4个,
..........2...3....5
表示44约有4个对称的素数7,37,13,31 。
例2: 对0到124间的数。删去偶数，得62个奇数，
对61,59,57,55,...，3，1 ， 每3个删去第3对，
对63,65,67,69,.. ,121,123, 每3个删去第1对，
剩下124·（1/2）·（3-2）/3≈20个，
对59，53，47，41,35,....,11, 5 , 每5个删去第5对，
对65，71，77，83,89,...,113,119, 每5个删去第1对，
剩下124·（1/2）·（3-2）/3·（5-2）/5≈12个，
对53，47，41, 23, 17, 11， 每7个删去第()对，
对71，77，83,101,107,113, 每7个删去第2对，
剩下 10个
``````1```3-2```5-2```7-1
124·--·----·----·----≈10个
......2...3.....5.....7
即;124有10个对称的素数
53,71,41,83,11,113,17,107,23,101.
哥德巴赫猜想的解的表达式；
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
表示x大约有G(x)个对称素数。与开方数内的素数对称的素数没计入。
其中：P表示不大于x开方数的诸素数,p为P中的最大的素数。
(注意rP的P是下角标 , 不是数) r3,r5,...rp为对应于P的删除比例，
x 素因子的素数，选1; 非x素因子的素数， 选2 ;
大素数时，应按实际的删除系数代入(有底限)。
```“大偶数时，解的表达式能用吗？”。我的答复是：
“大偶数时，解的表达式不能和小偶数一样简单。但是，有大于一的底限解是正确无疑地，可以用下述方法证明。”
假若大偶数开方数以内,所有的奇数和偶素数“2”都参入筛除,即:取每一个奇合数,每一个奇合数减一,每一个素数,每一个素数减一,以及“2”，做为分数的分母,取对应分数项的分子等于该项的分母减一,
这一极限筛除,仍有大于“1”的解数。
举例如下：偶数取1000000，其开方数内最大奇数为999。
````````````````````998``997``996```````5``4``3``2``1``1
G(1000000)=1000000·---·---·---·...·-·-·-·-·-·-
....................999..998..997.......6..5..4..3..2..2
将分子各项右移两位,每一项分数都大于一,大于一的众数的乘积数,仍大于一,
>1000000/(999·998)=1.003..=大于“1”的解
其他偶数极限超筛除时,同样有大于“1”的解 。
素数比合数少。只有少部分的数参入筛除，
少筛除了数，剩余数自然变大了。所以解大于一.
公式的解的是增函数, 只多不少。证明了哥德巴赫猜想成立。
```把哥德巴赫猜想的解的表达式改写；∏ 是各项连乘的运算符号
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
把解的表达式中除了(1/2)一项,把分子为(P-1)的数改为
(P-2)·{(P-1)/(P-2)},并把大括号数往前集中到第一个连乘运算式内.
把分子为(P-2)的数集中到后面的连乘运算式内
通过自然对数平方数的倒数与素数筛除系数的关系式
``1```````1``(P-1)^2 {1``2``4``6``10```P-rP``` p-rp}^2
————～—∏———={-·-·-·-·-·..·—...·---}
(lnN)^2...4...P^2....{2..3..5..7..11 ...P.......p..}
变换公式为连乘运算符号方式,变换公式为含平方数的方式,
````````1`` 3-r3` 5-r5` 7-r7` 11-r11```````P-rP````` p-rp
G(x)=x·--·----·----·----·------·...·----·..·-----
........2....3.....5....7......11...........P....... p
```````p-1`````x```P-2
====(∏——)·(—∏——)
.......P-2.....2....P
....P>2,P|N...P>2
```````p-1````x````(P-2)P````(P-1)^2
====(∏——)·—∏(————·---——)
.......P-2....2....(P-1)^2....P^2
```````p-1````x```P^2-2P+1-1```(P-1)^2
====(∏——)·—∏———----∏---——
.......P-2....2....(P-1)^2......P^2
```````p-1````x```(P-1)^2-1```(P-1)^2
====(∏——)·—∏———----∏---——
.......P-2....2....(P-1)^2......P^2
```````p-1````x``````````1````````4
====(∏——)·—∏(1- ——---)·---——
.......P-2....2.......(P-1)^2...(lnx)^2
```````p-1````````````1````````x
====2∏——·∏(1- ——---)·---——
.......P-2.........(P-1)^2...(lnx)^2
....P>2,P|N...P>2
其中，首∏的P是偶数的素因子的素数,后面的P表示素数集合中，不大于开方数的素数；“·”表示相乘,∏表示各项连续乘,
“x/2”表示偶数中奇数的个数，可称为“内含奇数”。
P|x表示素数集合中，可整除x的素数的集合，可称为“素因子”。
P>2表示素数集合中，不包含“2”，可称为“奇素数”。
.....公式就是数论书上介绍的哥德巴赫猜想求解公式,如下:
r(N)为将偶数N表示为两个素数之和的表示法个数：
``````````p-1`````````1`````````N
r(N)～2∏——∏(1- ————)————..............(1)
..........P-2.......(P-1)^2..(lnN)^2
....P>2,P|N...P>2
利用“素数定理和筛法公式”的关系式
``1```````1``(P-1)^2
————～—∏————............(2)
(lnN)^2...4...P^2
得到哥德巴赫猜想的解的2次筛法公式，如下：
`````````p-1```N```P-2```N```p-1```P-2```P-1
r(N)～(∏——)(—∏——)=—∏——∏——∏——
.........P-2...2....P....2...P-2...P-1....P
....P>2,P|N.....P>2.....P>2,P|N...P>2...P>2
其中，第1项的P为偶数的素因子，其他项的P为偶数开方数内的奇素数，
筛法公式将偶数开方数内的奇素数也筛除掉了，即偶数内，
起头区和结尾区内的哥解被排除在公式外了。r(N)只等于中间主体区的哥解。
求解公式的优化方法:优化第二项∏。第二项∏展开,,如下：
``P-2````1``3``5``9``11`15`17`19`21`27`29`````最大P-2
∏——== -·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-....·-------
..P-1....2..4..6.10..12.16.18.20.22.28.30......最大P-1.
.P>2......... 第二项∏，称为“2次筛留系数”
将上面公式的分子左移一位。末项分子则为“1”。
``P-2````````3``5``9`11`15`17`19`21`27`29``````````1
∏——====== -·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-..·-------
..P-1........2..4..6.10.12.16.18.20.22.28.30....最大P-1.
“素数的筛留系数”等于公式的第三项∏的（1/2），如下：
``P-1````````1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30````最大P-1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-..·-------
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31....最大P
`````````````````````````````````2次筛留系数
2次筛留系数==素数的筛留系数·————————
..............................素数的筛留系数
``P-2``(`P-1`)`6``15`45`77````23(29-2)``29^2`````31``1 `````1
∏——=(∏—-)·-·-·-·-·.·————·———·—·—.·-----
..P-1..(...P.).2..8..24.60....(23-1)^2..(29-1)^2.30..30 ...最大P
把2次筛留系数各项分数对应的分母素数的素数符号改写为“D”
``P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``1``````````1
∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—...·--------------------
..P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30 ..小于开方数最大素数的数
“素数的筛留系数”，公式的分子左移一位。如下：
``P-1````````2``4``6``10`12`16`18`22`28`30``1``````````1
∏—— ======-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-..·----------------
...P.........2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31.. 开方数内最大素数
由筛法公式知,两个筛留系数对应的偶数略大于分母最大素数的平方。
取最接近偶数值的“K·K==31·31”分别代入两个筛留系数。
“素数的筛留部份数”，如下：
````P-1``2``4``6``10`12`16`18`22`28`30`31``偶数的开方数
K∏——==-·-·-·-·--·-·-·-·-·-·-=---------------->>1
.....P...2..3..5..7..11.13.17.19.23.29.31..小于开方数的素数
“2次筛留部份数”，如下：
```P-2``(`P-1`)``(````(D-2)P``)``31``31``偶数的开方数
K∏——=(∏—-)·(∏—————)·—·—==--------------->>1
...P-1..(...P.)..(..(D-1)(P-1))..30..30 ..小于开方数的数
已知:偶数的素因子“P”的参数项如下：
``P-1`
∏—— >1
..P-2
将上面三个分项公式相乘，就是哥德巴赫猜想主体解,
优化公式为三个大于1的参数相乘,大于1。
哥德巴赫猜想的解等于主体解加首尾解。
哥德巴赫猜想主体解大于1,等于哥德巴赫猜想的解大于1。
解大于1，证明哥德巴赫猜想成立。
哥德巴赫猜想的解中的主体解，首尾解。举例如下：
实际解```偶数=(P·P+1),实际解个数,公式解G(N),
3,7,5`````````````````````````(10)```(3)..1.5对
3,23,7,13,19``````````````````(26)```(5)..2.5对
3,47,7,43,13,37,19,31,````````(50)```(8)..4..对
...................10的平方线.......
13.19,43.61.79.103.109,......(122)...(7)......7
..3,..7,.13|19,151,31.139.
167,163,157|43.127.61.109.67.103.97.73
首尾解.....|主体解............(170)..(12)....12
..7,.13,|.19,.61,.63,.79,.97,109,127,139,
283.277.|271.229.227.211.193.181.163.151
首尾解..|主体解...............(290)..(16)....16
3,353,11,349,13,347,首尾解|主体解
23.,337,29.,331,37.,313,43.,317,47.,313,
103,257,109,251,139,223,149,211,(360).(18)...18
..3,.13.|.31.79,139.151.163,181.
359.349.|331.283.223.211.199,181.
首尾解..|主体解................(362)..(12)
..7.|.31,.43,.67,.97,109.151.157.163.181.193.199.223.
523.|499.487.463.433.421.379.373.367.349.337.331.307..
首尾|主体解...................(530)..(24).....24.
3,839,13,829,19,823,首尾解|主体解
.31.811,.73,769,103.739.109.733.151.691.661.
181.643,199,631.211.619,223.613,229,601.241,
571,271,503,409,463.379,433,409,
..............................(842)..(30).....28
青岛 王新宇
2005.6.30
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---天堂向左地狱向右【关注】 【传呼】 发帖时间:2005-07-25 19:44:08
楼主(1): ````首创素数定理的新表达式.....qdxinyu20050702
素数定理：揭示了素数在自然数中的平均分布情况。
π(x)≈x/Lnx表示
“ 给定数以内素数的个数约等于给定数与该数自然对数的比值。”
用π(x)表示不超过x的素数个数,
当x足够大时,π(x)≈x/(Lnx-1.08366)
首创素数定理的新表达式
将素数定理用幂与指数方式来表示:
给定数以内素数的个数约等于幂与该幂指数的比值。
有,π(e^m)≈(e^m)/m 和 π(e^2m)≈(e^2m)/2m,
因为, e^m·e^m==e^(m+m)==e^2m,
所以,
``````````e^(2m)``e^m·e^m```e^m```1
π(e^2m)≈------==---------==----·-·e^m
...........2m......m·2......m.....2
换用数与对数来表示:
π(x·x)≈（(x/Lnx)/2）·x
素数定理的新表达式为:
“ 给定数以内素数的个数约等于
该数的开方数内素数的个数的一半与该数开方数的积。”
例如:
10的幂,,,,,,,实际解,,,,,,,,,,,,,,新公式解
x````````````π(x)```````````((x/Lnx)/2)·x
10^4..........1229...........24/2·10^2==12·10^2
10^6.........78498..........145/2·10^3==73·10^3
10^8.......5761455.........1086/2·10^4==543·10^4
10^10....455052511.........8687/2·10^5==4344·10^5
10^12..37607912018........72382/2·10^6==36191·10^6
10^14...3204941750802....620421/2·10^6==310210·10^7
````起始素数分布的规律和求起始素数个数的公式
起始素数分布的规律:
2...3...5....7................................(9)以内有4个,总计4
11..13..17..19..23...........................(25)以内增5个,总计9
29..31..37..41..43..47.......................(49)以内增6个,总计15
53.,59.,61.,67.,71.,73.,79...................(81)以内增7个,总计22
83.,89.,97.,101,103,107,109,113,............(121)以内增8个,总计30
127,131,137,139,149,151,157,163,167,........(169)以内增9个,总计39
173,179,181,191,193,197,199,211,223|227, .........(225)..10个,总49
229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,......(289)..11个,总60
283|293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,..(361)..12个,总72
367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,(441)13个,总85
443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,(529)总99
541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,(625)总114
631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727|733,(729)
739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,(841)
853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,(961)
求起始素数个数的公式
3的平方数以内素数的个数===(9+12·3-13)/8====32/8==4===4·1
5的平方数以内素数的个数==(25+12·5-13)/8====72/8==9=4.5·2
7的平方数以内素数的个数==(49+12·7-13)/8===120/8=15===5·3
9的平方数以内素数的个数==(81+12·9-13)/8===176/8=22=5.5·4
11的平方数以内素数的个数=(121+12·11-13)/8=176/8=30===6·5
13的平方数以内素数的个数=(169+12·13-13)/8=176/8=39=6.5·6
15的平方数以内素数的个数=(225+12·15-13)/8=176/8=49===7·7
17的平方数以内素数的个数=(289+12·17-13)/8=176/8=60=7.5·8
19的平方数以内素数的个数=(361+12·19-13)/8=176/8=72===8·9
21的平方数以内素数的个数=(441+12·21-13)/8=176/8=85=8.5·10
23的平方数以内素数的个数=(529+12·23-13)/8=176/8=99===9·11
25的平方数以内素数的个数=(625+12·25-13)/8=176/8=114=9.5·12
起始素数分布:
(x·x)以内素数个数ｙ的公式:
ｙ(x)==(x·x+12x-13)/8.........x为>1的奇数
设M=(x·x),则M数以内素数个数π(M)的公式及简化式,如下:
π(M)==(M+12(√M)-13)/8
π(M)==(M+12(√M-1))/8
即“M数以内素数个数,等于该数八分之一,加上该数开方数的1.5倍。”
与奇数(2ｎ+1)的顺序数ｎ相关的(2ｎ+1)的平方数内素数的个数的公式:
M==(2ｎ+1)(2ｎ+1)===(2ｎ+1)^2==ｎ^2+4ｎ+1==奇数的平方数
π(M)==π((2ｎ+1)^2)==[(ｎ+7)/2]·ｎ=对应参数·奇数的顺序数
即“奇数的平方数内素数的个数,等于该奇数的顺序数与对应参数的积”
青岛..王新宇
2005.7.2
素数定理的新表达式.....qdxinyu20050703
素数定理：π(x)≈x/Lnx表示 “ 给定数以内素数的个数约
等于给定数与该数自然对数的比值。”利用对数换底公式，
把“Lnx==2.3·Lgx”代入，得到素数定理的新表达式，
π(x)≈x/2.3Lgx.......................(1)
设 : M为10的m次幂，M以内的素数的个数为π(M),
素数的个数公式:
`````````M
π(M)≈---------
........2.3026m
幂M````素数个数```````M/2.3m``````````````````````误差
10````````````4``````(10/2.3026)==4.347.............0.08
100``````````25`````(100/4.6052)==21.7..............0.13
1000````````168````(1000/6.9078)==144.7.............0.14
已知，当x足够大时,π(x)→==x/(Lnx-1.083.)==x/(2.3026Lgx-1.)
````````````````x``````````M
π(x)≈==-------------==----------..............(2)
.........2.3026Lgx-1......2.3m-1
公式(1),(2)示例:
实际素数个数``````M/2.3026m`````````````M/（2.3026m-1）``误差
``````````25```10^2/4.605==21...........27............-0.08
`````````168```10^3/6.907==144``````````169...........-0.007
````````1229```10^4/9.210==1086`````````1218...........0.009
````````9592```10^5/11.51==8685`````````9521...........0.007
```````78498```10^6/13.81==72382````````78029``````````0.005
``````664579```10^7/16.11==620416```````661454`````````0.004
`````5761455```10^8/18.42==5426289``````5740264````````0.003
````50847534```10^9/20.72==4825463*`````50701198```````0.002
```455052511``10^10/23.02==43429167*````454008898``````0.002
``4118054813``10^11/25.32==39481061**```41103886**`````0.001
`37607912018..10^12/27.63==36190973***``37549941***````0.001
误差项的分析 :用a表示主项的差与附加项[√M/(2.3026m-1)]的比
10^m的实际素数个数-M/(2.3026m-1)=差.....√M/(2.3026m-1)..两数的比a
10^4``````````1229-1218========17.........100/8.2=12......17/12=1.4
10^5``````````9592-9521========71.........316/10.5=30.....71/30=2.3
10^6`````````78498-78029=======469.......1000/12.8=78....469/78=6 10^7````````664579-661454======3125......3162/15.1=209....71/30=15 10^8```````5761455-5740264=====21190....10000/17.4=574...211/5.7=36 10^9``````50847534-50701198===146336....31622/19.7=1603..146/1.6=91 10^10````455052511-454008898==1043612..100000/22.0=45400.104/4.3=23
``````````M````````a·√M`````M+a·√M
π(x)==(-------)+(--------)==----------........a的大小未发现规律
........2.3m-1.....2.3m-1......2.3m-1
有人提出用(M+12(√M-1))/(2.3m-1)表示π(x),其误差不会比公式(2)好,
青岛:王新宇
2005.7.3
数论中筛法的改革:开方数做单位...qdxinyu20050705。
````首创素数定理的新表达式一文中,介绍了
```````````````1```x
π(x·x)≈x·--·------==（(x/Lnx)/2）·x
..............2...Lnx)
“ 给定数以内素数的个数约等于
该数的开方数内素数的个数的一半与该数开方数的积。”
该素数定理的新表达式从理论上证明了素数的个数与开方数的关系,
利用它来证明给定数数以内素数的个数大于给定数的开方数,是
证明哥德巴赫猜想的第一步,必不可少,
该素数定理的新表达式成了我的一个新筛法的理论基础,
```为了浅显，用一个具体数为例，来分析数论中筛法的改革:开方数做单位。看看改良筛法的威力。本文接续2004.12.23我的“首创筛法确定实际解下限的方法”一文。
求某素数的平方数以内的素数的个数的方法，例如：31·31,
把961分成31行,31列,各列顺序为{1,2,3,4,5,6,...,30,31}
按次序去掉所有含开方数内素数做素因子的合数，剩下的就是素数。
先去掉含(961-1)中的素因子的合数.
开方数做单位，就是筛除的数，单位是列，“1”列=1开方数=1竖条。
去掉素因子为2的合数，即去掉(第1列+1)的一半,去掉偶顺序数的列。
去掉素因子为3的合数，即第1列去掉1/6的数,再去掉1/6的列。
去掉素因子为5的合数，即第1列去掉1/15的数,再去掉1/15的列。
去掉{2,4,6,8,10,12,...24,26,28,30}{3,9,15,21,27}{5，25}
此时，第一列只留下{7,11,13,17,19,23,19,31},
留下的完整列的顺序为{7,11,13,17,19,23,19,31},
留下的列的顺序数为去掉了素因子素数的其他素数,
再去掉含(961-1)中的非素因子(符号“P”)的合数.
利用各级筛法的互素数表求，等于[P,(961/P)]区间的互素数个数。
含素因子7的奇合数为
7·{7.11,13,17,19,23,29,31;37,41,43,47,49,53,..133,137}
奇合数的个数,每30有8个数,区间为[7,137.2],有(36/31)列个数。
其他素数P的奇合数,利用在[P,(961/P)]区间的互素数表等于素数表求:
11至87.4之间有19个素数,含素因子11的奇合数的列数==19/31,
13至73.93之间有16个素数,含素因子13的奇合数的列数==16/31,
17至56.6之间有10个素数,含素因子17的奇合数的列数==10/31,
19至50.5之间有8个素数,含素因子19的奇合数的列数==8/31,
23至41.8之间有23·{23,29,31,37,41},,含23的奇合数的列数=5/31。
29至33.2之间有29·{29,31},含素因子29的奇合数的列数=2/31。
31仅自己1个。31·,含素因子31的奇合数的列数=1/31。
7,11,13,17,19,23,29,31列中,要去掉的列为:
(36+19+16+10+8+5+2+1)/31==97/31==3+(4/31)==3列多领头4个.
将其放在{7,11,13}列内,留下的列为{17,19,23,29,31},欠领头4个。
留下的5列为“开方数内奇素数个数10的一半”。31·5-4==151个
还留下的列是第一列中的素数，11个。总计素数:151+11=162个.
与实际素数个数一样
待续
青岛.王新宇
2005.7.5
附:老文章```20041221分析数论单筛公式，双筛公式
现在，用一个具体数来分析单筛，双筛公式，看看如何精确它。
本文用到我的“首创筛法确定实际解下限的方法”一文的内容。
求素数的个数的方法，
取偶数N为“962”,(说明，本文中素数的个数是指奇素数的个数)
1，先求出给定数以内的不包括“1”的奇数的总个数，符号“Q”。
(962/2)-1==480,表示962中,不包括“1”的奇数的总个数有480个。
2，按照奇素数分类求出,没有重合的,实际真实奇合数的数值。
480含有奇素因子“3，5”的类型，
含素因子3的奇合数的个数有(480-3)/3==159,其他有(480-159-1)=321个,
含素因子5的奇合数的个数有(320-5)/5==63,其他有(321-63-1)=357个。
480没含有奇素因子的奇素数类型，素数符号“P”
利用各级素数的互素表求，等于[P,(961/P)]区间的互素数个数。
含素因子7的奇合数的个数,每30有8个数,区间为[7,137.2],有36个互素数。
其他小素数的奇合数,利用在[P,(961/P)]区间的互素数表等于素数表求:
11至87.4之间有19个素数,含素因子11的奇合数的个数==19,
13至73.93之间有16个素数,含素因子13的奇合数的个数==16,
17至56.6之间有10个素数,含素因子17的奇合数的个数==10,
23至41.8之间有5个,23·{23,29,31,37,41},含23的奇合数的个数=5。
29至33.2之间有2个,29·{29,31},含素因子29的奇合数的个数==2。
31仅自己1个。31·,含素因子31的奇合数的个数==1。
下面是按照素因子分类的实际真实奇合数的数值。
奇素因子=3````5````7```11``13``17``19``23``29``31..类型
奇合数==159...63...36..19..16..10...8..5...2...1...个数
3,分级求解：求出与3,与5,与7,...,与31,都互素的数的个数,
素数个数==不含1的奇数的个数连减各类型素因子的奇合数的个数。
S==480..-159.-63.-36.-19.-16.-10..-8..-5..-2..-1
各级解..,321,258,222,203,187,177,169,164,162,161
连减公式，通过分级求解，很容易改写成，分式连乘公式。
````````960`321`258`222`203`187`177`169`164`162`161
S(962)==-—·—·--·--·--·--·--·--·--·--·-—
.........2..480.321.258.222.203.187.177.169.164.162
把各项的分母变换成素因子，分子也恒等变换，
即改成（(素因子减“1数”)/素因子）形式,
```````960``2.`4.`6`10.05`11.98`16`18.1`22.3`28.6`30.8
S(962)=-—·-·-·-·---·----·--·---·---·----·---—
........2...3..5..7..11...13....17..19...23...29...31
各项“1数”为
|0.994.|0.984|0.972|0.95|1.02|0.9|0.86|0.7|0.36|0.19|
....3....5.....7....11....13...17..19...23..29....31
数据说明：单筛公式，“1数”取“1”，会有误差。
把素因子素数取N开方数以内的素数，
解值误差是很大，但适当去掉后面的项，解接近正确解。
对素数的连减公式的{连减系列数}，进行恒等变换，求解。
S==480--{159+63+36+19+16+10+8+5+2+1}
===480--{159+62+34+16+12.+7+4..+2
..........+1.+2.+3++4.+3.+4+5..+1}
===480--160--64-37-20-15-11-9-3
各级解为320,256,160,64，37，20，15，11，9，3
将连减公式“S==480-160-64-37-20-15-11-9-3”化为连乘公式。
````````960`320`256`219`199`184`173`164`161
s(961)==-—·—·--·—·—·--·--·--·—==161
.........2..480.320.256.219.199.184.173.164
把各项的分母变换成素因子，分子也恒等变换，
即改成（(素因子减“1数”)/素因子）形式,
```````960``2.`4.`6`10``12``16``18``22.58
S(962)=-—·-·-·-·-·--·--·--·---—
........2...3..5..7.11..13..17..19..23.
其中最后的素因子分数项停止在“22/23”这一级:即
误差项等效于后面几项,适当去掉后面的项，解接近正确解。
实际解大于公式解,可作为上限公式用,
单筛公式就是素数个数的上限公式(3)的主项，最后再加上附加项。
````````961````2``4```6```10```12```16```18```22```28``30
π(961)=——·—·—·—·—·—·—·—·—-·—·—
.........2.....3..5...7...11...13...17...19...23...29..31
各级解为480)320)256)219)199.7)184.3)173)164.3)157)152)147+11
各素因子减数为160，64，37，20，15，11，9，7，5，5
实际解........159..63..36..19..16..10..8..5..2..1.
...............-1..-1..-1..-1..+1..-1.-1.-2.-3.-4
(3)的附加项，是用“+√N”改善了误差，理论上应加√N内素数个数。
由奇数的个数起逐级减小，逐级接近到素数个数的真值。
进一步的研究
逐级减少是素数个数的上限公式，可变换成素数个数的下限公式，
根据,“N”除最大素因子～√N,少了末项素因子,各分子可左移一项；
``````````````高P-1``√ N``4``6`10`12`16`18`22`28`
π(N)>√ N∏(———)=——·-·-·-·-·-·-·-·-·..(10)
................P......2...3..5..7.11.13.17.19.23
````````√961````4````6```10```12```16```18```22```28```30
π(961)=———·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—-·—
...........1.....3....5....7...11...13...17...19...23...29
各级解为.31)41.33.)49.6)70.85)77.2)95.1)100.7)116.6)142)147+11
素数个数的下限公式，由数的开方数起,逐级增加到素数个数的真值,
两个公式的解是同一个数,因为是同一个公式的变换,都有附加项,
素数的个数肯定在“上限，下限”两公式解的中间，
逐级求解，因为双向解是内夹解，两解相交点，必是正确解。
双向求解是动态解决多变误差参数的好方法，误差会相补抵消。
待续
青岛 王新宇
2004.12.21
20041222qdxinyu分析数论双筛公式
下面，用一个具体数来分析双筛公式，看看如何精确它。
本文用到我的“首创筛法确定实际解下限的方法”一文的内容。
求对称素数的个数的方法，
求对称素数的个数的公式与求孪生素数的成对的对数的公式
是一样的。故先求孪生素数的成对的对数。
取偶数N为“962”,(说明，本文中素数的个数是指奇素数的个数)
1,先得知道给定数以内的不包括“2”的素数的总个数，符号“S”。
S(962)=161,表示962中,不包括“2”的奇素数的总个数有161个。
2，按照奇素数分类求出,实际真实的伴生奇合数的数值。
伴生奇合数是我新定义的一种奇合数，简称“伴数”
它是与的奇合数。
求解31的平方数以内的各级伴数的方法另介绍,先用结果,
按照奇素数分类求出伴数,奇素数按渐大的顺序，求到顺序数。
``在“(6n+1),(6n-1)”数系中,
(1)“3”素数级的伴数个数是零，没有伴数。
(2)其他素数级的伴数个数:
“5”素数级的伴树的集合(略),伴数个数有44个,
“7”素数级的伴树的集合(略),伴数个数有18个,
11·{19;23,29,37;41,59,61;67;83,}“11”素数级伴数有9个,
13·{13,17;29;31,37,43,47;53;59;73,}“13”素数级伴数有10个,
17·{23,29,37;47,}“17”伴数有4个,伴素数389,491,631,797
19·{19,23;31;37,}“19”伴数有4个,伴素数361,439,589,701
23·{37;41,}“23”级伴数有2个,伴素数853,941
29·{29,}“29”级伴数有1个,伴素数29·29-2==839
31·{空级}“31”级伴数是零,没有伴数,
有了伴数,很容易得到连减公式,连乘公式.
孪生素数个数==奇素数个数连减各级伴数。孪生素数符号"L"
S==480-159--63--36--19--16--10--8--5--2--1==161
L==161--0---44--18---9--10--4---4--2--1--0==69
各级解:161,117,.99,.90,.80,.76,.72,70,69,..=69
连减公式，通过分级求解，很容易改写成，分式连乘公式。
各级解={161,117,99,90,80,76,72,70.69,69,}
分式连乘公式
```````````117``99`90`80`76`72`70`69`69
L(962)=161·--·--·-·-·-·-·-·-·-
...........161.117.99.90.80.76.72.70.69
对应的级.3...5...7..11.13.17.19.23.29.31
公式表示:“961以内的孪生素数有69个,”等于实际数。
把各项的分母变换成各(级素数-1)，分子也恒等变换，
即改成（(级素数减“2数”)/(级素数-1)）形式,
````````````3.`5.`9``10.7`15.2`17.05`21.4`27.2``30
L(962)=161·-·-·-·----·---·----·---·---·--
............4..6.10...12...16....18...22...28...30
各项“2数与1的差数”为
`````````|1.093|0.923|1..|1.3|0.8|0.95|0.6|0.8|0.|
数据说明：双筛公式，“2数与1的差数”取“1”，会有误差。
把级素数取N开方数以内的素数，
解值误差是很大，但适当去掉后面的项，解接近正确解。
对孪生素数的连减公式的{连减系列数}，进行恒等变换，求解。
L==161--0---44--18---9--10---4---4----2----1---0==69
===161--0---40--21--10-7.5---5.1-4.3--3--1.1---0==69
各级解===={161,121,100,90,..82.5,77.4,73,70.,69}
各级缩比为..4,..6,..10,12,..16.1,18..,24,64,..1
分式连乘公式:代入各级缩比,23/24=21/22,63/64=27.56/28
```````161``3``5``9``11``15`17``21.1`27.56``1
L(962)=-—·-·-·-·-·--·--·----·—--·—
........1...4..6.10..12..16.18..22....28....1
其中最后的级素数项停止在“27/28”;少“29/30”项。表示
误差项等效于后面的项,适当去掉后面的项，解接近正确解。
实际解大于公式解,可作为上限公式用。孪生素数个数转换为
孪生素数对数,要乘“1/2”，等效于级素数含“3”
孪生素数对数公式如下：
S个素数包含的孪生素数的个数:其中,P为起始部分的素数;
`````````(P-2)`````1``3``5``9`11`15`17`21
L(S)～S∏(---)==S·-·-·-·-·-·-·-·-...孪生素数对数
.........(P-1).....2..4..6.10.12.16.18.22
由奇素数的个数起逐级减小，逐级接近到孪生素数对数的真值。
进一步的研究，将素数个数公式代入：
`````````(P-2)``N```(P-1)``(P-2)``N```(P-2)
L(S)～S∏(---)==--∏(---)∏(---)==--∏(---)
.........(P-1)..2...(.P.)..(P-1)..2...(.P.)
上面是奇数逐级减少到孪生素数对数的上限公式，可变换成下限公式，
根据,“N”除最大素因子～√N,少了末项素因子,各分子又可左移一项；
``````√ N```高P-2``√ N``3``5``9`11`15`17```√ N``(奇合数)
L(S)～----∏(——-)=——·-·-·-·-·-·-..=----∏——-----)
........2......P......2...3..5..7.11.13.17....2...(奇合数-2)
这就是半开方数逐级增加到孪生素数对数的下限公式。
孪生素数对数的下限公式，由数的半开方数起,逐级增加到解的真值,
两个公式的解是同一个数,因为是同一个公式的变换,
孪生素数成对的对数肯定在“上限，下限”两公式解的中间，
逐级求解，因为双向解是内夹解，两解相交点，必是正确解。
双向求解是动态解决多变误差参数的好方法，误差会相补抵消。
下面，用一个具体数来介绍求对称素数的个数的方法，
相对于偶数的两个对称位置都是素数的情形，有两种类型。
第一种类型是:与开方数以内的素数相对称的位置是素数,少,
第二种类型是:与开方数以外的素数相对称的位置是素数,多。
双筛公式：不含第一种类型的解，只计算占主体解的第二种类型解。
`````````1``3-r3``5-r5``7-r7``11-r11```````P-rP``````p-rp
G(x)～x·-·----·----·----·------·....·----·..·-----
.........2...3.....5.....7......11...........P.........p
表示x大约有G(x)个主体对称的素数。与首尾对称的素数没计入。
其中：P表示不大于x开方数的诸有效素数,p为P中的最大的有效素数。
(注意rP的P是下角标 , 不是数) r3,r5,...rp为对应于P的删除比例，
是x素因子的，rP选1; 不是x素因子的，rP选2 ;
大素数时，按实际的删除比例修正。
偶数=962,由962=2*13*37知道,962含开方数以内的素因子13,
``````````````1```1```3```5``9`12`15`17`21`27`29
G(962)===962·--·--·--·-·----·-·-·-·-·-·--
..............2...3...5...7.11.13.17.19.23.29.31
逐级减少的解为480,160,96,68,56,51,45,41,37,34,32,
表示偶数962约有32个对称的素数, 事实正好是32个对称的素数,如下：
43，919，79，883，103，859，109，853，139，823，151，811，
193，769，211，751，229，733，261，701，271，691，331，631，
349，613，421，541，439，523，463，499，
公式中：分母是2和13的分子减一，其他项的分子减二。
其中，分子与分母的差不大于2。分母是小于该偶数开方数的诸素数。
对称素数的个数的公式与孪生素数对数的公式区别是：分数项的
分子增大1个数的项随着素因子的增多而增多。即有：素因子增大系数。
对称素数的个数等于素数个数和孪生素数对数之间，
用素因子增大系数确定的比例上。
各种比例数的数量按2的幂递增;
2种,4种,8种,16,32,64,128,256,....
若只考虑解的有无,则只考虑对称素数的个数的最小解就可以了。
青岛 王新宇
2004.12.22
20041223qdxinyu分析数论双筛公式(续)
检查了一下，更正一下伴数的数据，上面公式的
L==161--0---44--18---9--10--4---4--2--1--0==69 应该是
L==161--0---41--20---9--10--5---4--2--1--0==69
虽然中间参数都该相应纠正，但原计算公式最后的解值不变。
其孪生素数如下所示；为69个。
...,..3,..5,..7,.11,.13,.17,.19,
.29,.31,.41,.43,.59,.61,.71,.73,
101,103,107,109,137,139,149,151,
179,181,191,193,197,199,227,229,
239,241,269,271,281,283,311,313,
347,349,419,421,431,433,461,463,
521,523,569,571,599,601,617,619,
641,643,659,661,809,811,821,823,
827,829,857,859,881,883,
对称素数的公式与孪生素数对数的公式解的值的区别是：
对称素数有：素因子增大系数。
相对于偶数的两个对称位置都是素数的情形，有两种类型的解。
第一种类型是:与开方数以内的素数相对称的位置的解,少,
第二种类型是:与开方数以外的素数相对称的位置的解,多。
双筛公式：不含第一种类型的解，只计算占主体解的第二种类型解。
偶数962的双筛公式的解,不含{3,5,7,11,13,17,19,29,31},少九个,
孪生素数个数减九个,为30对,
偶数962含素因子13, 素因子增大系数为“(13-1)/(13-2)” ,
数论的解常默认要取整运算,
偶数962对称素数的对数等于(30+2)对是合理的,正确。
对称素数就是符合哥德巴赫猜想的两素数和等于偶数的表达式的个数。
对称素数大于1就是哥德巴赫猜想的证明。
待续
青岛 王新宇
2004.12.23
--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 19:45:42
楼主(2): 数学成果展示：形象的表达素数的分布
``````形象的表达素数的分布..........qdxinyu20050711
在素数定理:π(M)≈M/2.3LgM=M/2.3m.公式中,
M≈π(M)·(2.3m)
M是10的m次幂，π(M)是M内的实际素数个数，2.3m是M的自然对数值。
数``````````实际素数个数``对数```位数关系`
M`````````````π(M)```````2.3m``
10`````````````````````4``2``````2==1+1
100```````````````````25``4``````3==2+1
1000`````````````````168``6``````4==3+1
10000```````````````1229``9``````5==4+1
100000`````````````9592``11``````6==4+2
10000000``````````78498``13``````7==5+2
100000000````````664579``16``````8==6+2
1000000000``````5761455``18``````9==7+2
10000000000````50847534``20`````10==8+2
10^10`````````455052511``23`````11==9+2
10^11````````4118054813``25`````12==10+2
10^12```````37607912018``27`````13==11+2
在积等于因数乘因数中，
积的“数字的个数”等于因数“数字的个数”的和。
本文把“数中数字的个数”定义为新的数量。称为“位数”。
“位数”加上一个符号与普通数区别开很重要，把符号“V”放后面。
“位数”是“常用对数首数+1”。
常用对数的首数缺点很大，例如。33·34=1122，99·99=9801，单纯首数运算，只知道>2位，实际,4位。在不计入小数时，
“位数”比“对数首数”更符合实际。
下面考查极大的数。
1/Ln10==1/2.302585093...====0.434294482...
1/(Ln10)^2=1/5.301898111..==0.188611697...
数—差＝素数位数```````|对数|对数的平方|两次差|两次筛后个数|
M````C````π(M)`````````2.3m``(2.3m)^2
2V````1V```1V```````````2.3```5.31`````````1V```1V
3V````1V```2V```````````4.6```21.2`````````2V```1V`
4V````1V```3V```````````6.9```47.7`````````2V```2V`
5V````1V```4V```````````9.2```84.8`````````2V```3V`
6V````2V```4V`````````11.51``132.5````````3V```3V`
7V````2V```5V``````````13.81``190.8````````3V```4V`
8V````2V```6V``````````16.11``259.7 ```````3V```5V`
9V````2V```7V``````````18.42``339.3````````3V```6V`
10V```2V```8V``````````20.72``429.4````````3V```7V`
11V```2V```9V``````````23.02``530.1````````3V```8V`
12V```2V``10V``````````25.32``641.5````````3V```9V`
13V```2V``11V``````````27.63``763.4````````3V``10V
41V```2V``39V``````````69.````4761`````````4V``37V
44V```2V``42V``````````99.0```9801`````````4V``40V
45V```3V``42V````````101.3``10261`````````5V``40V
435V``3V`432V`````````999.3``998600````````6V``429V
436V``4V`432V```````1001.6`1003202````````7V``429V
4343V``4V`4339V``````9997.8`99956004```````8V``4335V
4344V``5V`4339V`````10000.1`````10^8```````9V``4335V
43430V``5V`43425V```99998.9`````10^8```````9V``43431V
43431V``6V`43425V```100001.2````10^10``````11V`43431V
434295V``6V`434289V
434296V``7V`434289V``1000001.1``10^12``````13V`434283V
4342945V``7V`4342938V
4342946V``8V`4342938V``10000000.4``10^14```15V`4342931V
43429449V``8V`43429441V`
43429450V``9V`43429441V``100000001`10^16``17V`43429433V
............................
上面数据总结在下面。数据全是位数，即数中数字的个数
区间======上限数-下限数``素数密度的位数`两次筛密度的位数
394813166=434294482-39481316````````9`````````17
.39481316=43429448-3948132``````````8`````````15
..3948132=4342944-394812````````````7`````````13
...394812=434294-39482``````````````6`````````11
....39482=43429-3947````````````````5``````````9
.....3947=4342-395``````````````````4``````````8
......395=434-39````````````````````3``````````6
.......39=43-4``````````````````````2``````````4
......＋4=4-0```````````````````````1``````````2
---------
434294482.......数据包括了4万万多位数那么大的数字。
上面数据中，素数密度的位数，2表示10分之一，3表示100分之一，
....9表示10^8分之一。
“数字”表示把越来越大的10的幂，减去“数字”位个数字，
留下的“数字”的个数就是素数个数的“位数”。
例如：10^4幂内，少一位，素数个数是3位数，
10^5幂，素数个数比10^5幂少2位数，为(5+1)-2=4位数,10^6幂,同样,
少2位数。.直到10^43幂,一直少2位数。
10^44幂，素数个数比10^44幂少3位数，直到10^434幂,一直少3位数。10^435幂,少4位数。在“上限数-下限数”，少一样多，反复分区间
减少，最后一行，表示10的43429450次幂，素数个数比该幂少了9位数，
素数个数有43429441位数。数据形象的表达了素数的分布。
最右面“两次筛密度的位数”是用素数密度的平方作筛除，
筛除的位数约为素数减少位数的两倍。留下的数是两次筛留数的个数的
位数。最后一行，表示10的43429450次幂，两次筛留的位数比该幂少了17位数，其个数为43429433位数。数据形象的表达了两次筛留数的分布。
青岛 王新宇
2005.7.11
补充说明，
"形象的表达素数的分布"一文中。
表一
数``````````实际素数个数`````````对数``````````位数关系`
M```````````````π(M)````````````2.3m``
10````有2个数字```4````有1个数字``2``有1个数字````2==1+1
100```有3个数字```25```有2个数字``4``有1个数字````3==2+1
1000``有3个数字```168``有3个数字``6``有1个数字````4==3+1
M有几个数字，.π(M)有几个数字，2.3m有几个数字，数字的关系。
即：M的位数===π(M)的位数+2.3m的位数
对应运算规律是“积的对数首数==因数对数首数的和”
采用位数，补偿了没计入小数的误差。
这是首数运算的改进，位数的运算。
表二
其中，V2至V13，左边的三列就是表一。请一一对应看，就清楚了。
你把“V”读成“位”，就明白公式的含义了.
积的位数减因数的位数等于另一个因数的位数，这是对数运算法则。
(幂M)的位数减(1/对数)的位数等于(素数个数)的位数
简写 幂M)位数=数,(1/对数)的位数=差,
(素数个数)的位数则直接写为素数位数,
后面的三列,是进一步深入,才采用的数据,看不懂的,以后再看,
数(M的位数)-差(1/对数)的位数＝素数位数``````````|对数|
M```````````````C``````````π(M)````````````2.3m去掉小数
2V``````````````1V`````````1V```````````````2.3``有1位数
3V``````````````1V`````````2V```````````````4.6``有1位数
4V``````````````1V`````````3V```````````````6.9``有1位数
M有几个数字，2.3m有几个数字.π(M)有几个数字，2.3m实际数
青岛 王新宇
2005.7.12
--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 19:47:03
楼主(3): 数学成果展示：
形象的表达素数的分布(续2)..........qdxinyu20050713
主要内容：用位数，位数的运算来计算素数个数的位数。
```更精确的素数个数的公式,个数的位数,及误差的位数。
基本名词：位数，位数的运算，以10为底的数M，指数m.o，
把M看成以10为底的数,非10的m次幂，用m.o表示对数的首数.尾数
M内素数的个数与M的自然对数有关，通过换底公式，知：
(2.3m.o)是M的自然对数值的简化写法。
精确的素数个数的公式如下:
````````{`````1```````1!`````````2!````````````(k-1)!```}
Li(M)≈M{--------+-----------+-----------+....+---------}
........{(2.3m.o)..(2.3m.o)^2..(2.3m.o)^3.....(2.3m.o)^k}
该公式的解,在现在可计算的范围内比实际值大,为了减少误差,
优化为更精确的素数个数的公式:
````````{````1````````1``````````2`````````````(k-1)```}
π(M)≈M{--------+----------+-----------+....+---------}
........{(2.3m.o)..(2.3m.o)^2..(2.3m.o)^3....(2.3m.o)^k}
例如：
求：10^3内的素数个数π(10^3)。Ln10^3=2.3·3=6.9
``````````````{``1``````1````}
π(10^3)≈10^3{-----+--------}
..............{(6.9)..(6.9)^2}
``````````10^3````10^3
==========-----+-------=144.9+21.0==166
...........6.9....47.6
例如：
数M内的`实际素数个数``原公式解```新公式素数个数解
M -------π（M）-------Li(M)解--------新公式解
10^3-----16 8------------1 78 ---------16 6
10^4-----1229 -----------12 46---------1229
10^5-----95 92-----------9 630---------95 71
10^6-----78 498 ---------78 638--------78 545
10^7-----664 579---------664 918-------664 799
10^8-----5761 455--------576 2209------5761 727
10^9-----5084 7534-------5084 9235 ----5084 8536
10^10 ---455052 511------45505 5614----455052 489
10^11 ---41180 54813 ------------------41180 61899
10^12 ---376079 12018 ----------------376079 28864
10^16 ---27923834 1033925 ------------27923834 3150069
10^17 ---262355715 7654233 ------------262355715 9763485
10^18 ---247399542 87740860------------247399542 77356881
10^19 ---234057667 276344607-----------234057667 332592627
10^20 ---22208196025 60918840 ---------22208196025 39969329
10^21 ---2112726948 6018731928 --------2112726948 5214009035
10^22 ---201467286689 315906290--------201467286689 400350071。
...........................................................
10^10 的455052 511(9位数),45505 5614(9位数),455052 489(9位数),
同一个数的实际素数个数，原公式素数个数，新公式素数个数
其素数个数的位数是相同的。且新公式准确的位数比老公式多一位。
10^22 的201467286689 315906290(有21位数)，
````````201467286689 400350071(有21位数)，且首12位数字相同。
比较素数个数的大小,用素数个数的位数来比较更方便。
分析误差的大小，用位数来比较也方便。
待续
青岛 王新宇
2005.7.13
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--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 20:05:18 楼主(4): 形象的表达素数的分布(续2)..........qdxiny
形象的表达素数的分布(续2)..........qdxinyu20050713
主要内容：用位数，位数的运算来计算素数个数的位数。
```精确的素数个数的公式,个数的位数,及误差的位数。
基本名词：位数，位数的运算，以10为底的数M，指数m.o，
把M看成以10为底的数,非10的m次幂，用m.o表示对数的首数.尾数
M内素数的个数与M的自然对数有关，通过换底公式，知：
(2.3m.o)是M的自然对数值的简化写法。
精确的素数个数的公式如下:
````````{`````1```````1!`````````2!````````````(k-1)!```}
Li(M)≈M{--------+-----------+-----------+....+---------}
........{(2.3m.o)..(2.3m.o)^2..(2.3m.o)^3.....(2.3m.o)^k}
例如：
求：10^3内的素数个数π(10^3)。Ln10^3=2.3·3=6.9
``````````````{``1``````1````}
π(10^3)≈10^3{-----+--------}
..............{(6.9)..(6.9)^2}
``````````10^3````10^3
==========-----+-------=144.9+21.0==166
...........6.9....47.6
例如：
数M内的`实际素数个数`````
M -------π（M）---------积分解--------公式解
10^3-----16 8------------1 78 ---------16 6
10^4-----1229 -----------12 46---------1229
10^5-----95 92-----------9 630---------95 71
10^6-----78 498 ---------78 638--------78 545
10^7-----664 579---------664 918-------664 799
10^8-----5761 455--------576 2209------5761 727
10^9-----5084 7534-------5084 9235 ----5084 8536
10^10 ---455052 511------45505 5614----455052 489
10^11 ---41180 54813 ------------------41180 61899
10^12 ---376079 12018 ----------------376079 28864
10^16 ---27923834 1033925 ------------27923834 3150069
10^17 ---262355715 7654233 ------------262355715 9763485
10^18 ---247399542 87740860------------247399542 77356881
10^19 ---234057667 276344607-----------234057667 332592627
10^20 ---22208196025 60918840 ---------22208196025 39969329
10^21 ---2112726948 6018731928 --------2112726948 5214009035
10^22 ---201467286689 315906290--------201467286689 400350071。
...........................................................
10^10 的455052 511(9位数),45505 5614(9位数),455052 489(9位数),
10^22 的201467286689 315906290(有21位数)，
````````201467286689 400350071(有21位数)，且首12位数字相同。
比较素数个数的大小,用素数个数的位数来比较更方便。
分析误差的大小，用位数来比较也方便。
待续
青岛 王新宇
2005.7.13
--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 20:06:07 楼主(5): 补充：：形象的表达素数的分布(续2)..........qdxinyu20050713
````精确的素数个数的公式是个累加公式，可以称为解的构造公式。
下面分析构造公式解中各部分解对总解的影响，举个事例，例如：
10的9次幂“10^9”，1000000000是个10位数，(2.3m.o)中的m.o=9,
[Ln(10^9)]=========20.72326584
[Ln(10^9)]^2======429.453747
[Ln(10^9)]^3=====8899.684164
[Ln(10^9)]^4===184430.5208
[Ln(10^9)]^5==3822002.712
``````````````{````1````````1``````````2!````````````5!`````}
π(10^9)≈10^9{--------+----------+-----------+...+---------}
..............{(2.3·9)..(2.3·9)^2..(2.3·9)^3...(2.3·9)^6}
```10^9``10^9``2·`10^9``6·10^9``24·10^9``120·10^9
==-----+-----+---------+--------+---------+-----------
...20.7..429.4..8899.6...184430...3822002....79204378
```10^9``10^9``2·`10^9``6·10^9``24·10^9``120·10^9
==-----+-----+---------+--------+---------+-----------
...20.7..429.4..4449.8...30738...159250....660036
=48254942+2328539+224727+32532+6279+1514=50848536
公式解中各部分解对总解的影响。
头8位整数解====48254942.4→48254942
加7位整数的解```2328539.4→50583484
加6位整数的解````224727.0→50808208
加5位整数的解`````32532.4→50840743
加4位整数的解``````6279.6→50847021
加4位整数的解``````1514..→50848536
将构造公式解中各部分解
公式各项往下对应查看各个数的位数（整数的位数）
```10^9``10^9``2·`10^9``6·10^9``24·10^9``120·10^9
==-----+-----+---------+--------+---------+-----------
...20.7..429.4..4449.8...30738...159250....660036
有2位整`有3位整`有4位整`有5位整`有6位整数`有6位整数
差8位```差7位```差6位```差5位```差4位`````差4位构成10位。
解影响``第7位```第6位```第5位```第4位`````第4位数的大小。
结论：
数的位数==两部分位数的和==“对应该数对数的”和“对应解的”。
数的“位数”==对应该数对数的“位数”＋解的“位数”，
数的位数==解中各部分解对应对数的“位数”＋改变解的“位数”，
位数最大的项就是第一项，该项就是素数定理的公式解，
精确公式只改变位数更低位的数的数。就是说：
误差最大就是进一位的1，
即误差小于“主项解的素数个数的位数+1”位那么大的数。
即：用素数定理的公式解和“位数”关系，就可以了解真实素数
的“位数”。即：真实素数的分布
--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 20:06:39 楼主(6): 数学成果：数论方面
形象的表达素数的分布(续3)..........qdxinyu20050715
```把M看成以10为底的数,非10的m次幂，用m.o表示对数的首数.尾数
M内素数的个数与M的自然对数有关，通过换底公式，知：
(2.3m.o)是M的自然对数值的精简写法。
精确的素数个数的公式如下:
````````{`````1```````1!`````````2!````````````(k-1)!```}
π(M)≈M{--------+-----------+-----------+....+---------}
........{(2.3m.o)..(2.3m.o)^2..(2.3m.o)^3.....(2.3m.o)^k}
计算的关键是：项数k的多少，k小了，k大了，解的误差都大。
k的大小，取值如下:
在M〈10^4,取“k=|2(√LnM)-2|==|2(√2.3m)-2|”，
在M〉10^4,取“k=|2(√LnM)-3|==|2(√2.3m)-3|”。
k(10^1)==|2(√(2.3·1))-2|==|3.0-2|=1
k(10^2)==|2(√(2.3·2))-2|==|4.2-2|=2
k(10^3)==|2(√(2.3·3))-2|==|5.2-2|=2
k(10^4)==|2(√(2.3·4))-3|==|6.0-3|=3
k(10^5)==|2(√(2.3·5))-3|==|6.7-3|=3
k(10^6)==|2(√(2.3·6))-3|==|7.4-3|=4
k(10^7)==|2(√(2.3·7))-3|==|8.0-3|=5
k(10^8)==|2(√(2.3·8))-3|==|8.5-3|=5
k(10^9)==|2(√(2.3·9))-3|==|9.1-3|=6
k(10^10)=|2(√(2.3·10))-3|=|9.5-3|=6
k(10^20)=|2(√(2.3·20))-3|=|13.5-3|=10
......................................
下面介绍具体的计算方法，
注意：为书写简便，把各个数字的小数位数少写了，且计算器只有拾位精度。
求：10^1内的素数个数π(10^1)。Ln10^1=2.3·1=2.3
```````````10^1
π(10^1)≈-----==4.3≈4....................实际素数个数4
...........2.3
求：10^2内的素数个数π(10^2)。Ln10^2=2.3·2=4.6
``````````10^2````10^2
π(10^2)≈=-----+-------=21.7+4.7≈25......实际素数个数25.
...........4.6...21.207
求：10^3内的素数个数π(10^3)。Ln10^3=2.3·3=6.9
```````````10^3``10^3
π(10^3)≈-----+-------=144.9+21.0≈====≈166.实际素数个数168
...........6.9....47.6
求：10^4内的素数个数π(10^4)。Ln10^4=2.3·4=9.210
``````````````{``1``````1````````2```}
π(10^4)≈10^4{-----+--------+-------}
..............{(9.21).(84.83).(781.3)}
===============1085.7+117.8+25.6≈====1229..实际素数个数1229
求：10^5内的素数个数π(10^5)。Ln10^5=2.3·5=11.5
````````````````{`1```````1```````2``}
π(10^5)≈(10^5){-----+------+-------}
................{11.5..132.54..1526.0}
================8685.8+754.4+131.0≈====9571.实际素数个数9592
求：10^6内的素数个数π(10^6)。Ln10^6=2.3·6=13.8
````````````````{``1`````1``````2````````6```}
π(10^6)≈(10^6){-----+------+-------+-------}
................{13.8..190.8..2639.9..36430.7}
================72382.4+5239.2+758.4+131.0≈==78545
10^6内的素数个数实际有78498个,
求：10^9内的素数个数π(10^9)。Ln10^9=2.3·9=20.7
``````````````{````1````````1``````````2!````````````5!`````}
π(10^9)≈10^9{--------+----------+-----------+...+---------}
..............{(2.3·9)..(2.3·9)^2..(2.3·9)^3...(2.3·9)^6}
```10^9``10^9``2·`10^9``6·10^9``24·10^9``120·10^9
==-----+-----+---------+--------+---------+-----------
...20.7..429.4..8899.6...184430...3822002....79204378
```10^9``10^9```2·`10^9```6·10^9```24·10^9```120·10^9
==-----+-----+----------+----------+----------+-----------
...20.7..429.4...4449.8....30738.....159250.....660036
==48254942+2328539+224727+32532+6279+1514≈==50848536
...........................实际素数个数有....50847534
求：10^20内的素数个数π(10^20)。Ln10^20=2.3·20=46.05
````````````10^20``````10^20``````2·10^20````6·10^20
π(10^20)≈---------+-----------+-----------+----------
...........46.0517011..2120.7592..97664.571...4497619.77
``````24·10^20````120·10^20```720·10^20````5040·10^20
-----+------------+-----------+------------+--------------
......207123041.7..9538368426..4392.5·10^8..2022.8·10^8
`````````40320·10^20````362880·`10^20`
-------+---------------+----------------
........9315606.9·10^8..428999540·10^8
=====217147240..............
------+47152524.............→221862536·10^10
-------+20478255............→222067318·10^10
--------+1334039............→222080658·10^10
---------+11587315..........→222081816·10^10
----------+12580768.........→222081941.·10^10
----------------+1639.·10^8→22208195739·10^8
-----------------+249.·10^8→22208195988·10^8
------------------+43.·10^8→22208195931·10^8
-------------------+8.·10^8→22208196039·10^8
................................................
................实际素数个数有22208196025 60918840
比较素数个数的大小,用素数个数的位数来比较更方便。
分析误差的大小，用位数来比较也方便。
````精确的素数个数的公式是个累加公式，可以称为解的构造公式。
下面分析构造公式解中各部分解对总解的影响，举个事例，例如：
10的20次幂“10^20”，1000000000是个21位数，(2.3m.o)中的m.o=46.
将分母再除以分子的阶乘系数数,得到新分母,如下:
[Ln(10^20)]^1/1==4.605·10^1→10^1=============2位整数=2V
[Ln(10^20)]^2/1==2.120·10^3→10^3=============4位整数=4V
[Ln(10^20)]^3/2==(9.7/2)·10^(4-0)→10^4=======5位整数=5V
[Ln(10^20)]^4/6==(4.4/6)·10^(6-0)→10^5=======6位整数=7V
[Ln(10^20)]^5/24==(2.0/2.4)·10^(8-1)→10^6====7位整数=7V
[Ln(10^20)]^6/120==(9.5/1.2)·10^(9-2)→10^7===8位整数=7V
[Ln(10^20)]^7/720==(4.3/7.2)·10^(11-2)→10^9==9位整数=9V
[Ln(10^20)]^8/5040==(2.0/5.0)·10^(13-3)→10^9=10位整数=10V
[Ln(10^20)]^9/40320==(9.3/4.0)·10^(14-4)→10^10=11位整数=11V
[Ln(10^20)]^10/362880==(4.2/3.6)·10^(16-5)→10^11=12位整数=12V
````````````10^20``10^20```2·10^20```8!·10^20```9!·10^20
π(10^20)≈------+--------+-------+...----------+----------
............[.]^1...[.]^2...[.]^3........[.]^9....[.]^10
各项的解如下:给的数的总位数为21位=解的位数加分母的位数
=====2.17147240·10^18.......有19位整数→+2位=21位
------+4.7152524·10^16......有17位整数→+4位=21位
-------+2.0478255·10^15.....有16位整数→+5位=21位
--------+1.334039·10^14.....有15位整数→+6位=21位
---------+1.1587315·10^13...有14位整数→+7位=21位
----------+1.258076·10^12...有13位整数→+8位=21位
-----------+1.639.·10^11..→有12位整数→+9位=21位
------------+2.49.·10^10..→有11位整数→+10位=21位
-------------+4.3.·10^9...→有10位整数→+11位=21位
--------------+8.·10^8.....→有9位整数→+12位=21位
````````````21V`21V`21V`21V`21V`21V`21V`21V`21V`21V
π(10^20)≈----+---+---+--+---+----+---+---+---+----
............2V..4V..5V..6V..7V..8V..9V..10V.11V.12V
===========19V17V16V15V14V13V12V11V10V9V
=降低10次======逐个降低位数的一系列数的和
误差<最高位数==误差必是次低位数的数，最高位数的数是准确的。
=============可以得到误差与总解的比例，
结论：
数的“位数”==对应该数对数的“位数”＋解的“位数”，
数的位数==解中各部分解对应分母的“位数”＋对应解的“位数”，
位数最大的项就是第一项，该项就是素数定理的公式解，
精确公式只改变位数更低位的数的数。就是说：
素数定理的公式解，
误差小于“主项解的素数个数的位数-1”位那么大的数。
即：用素数定理的公式解和“位数”关系，就可以了解真实素数
的“位数”。即：真实素数的分布
待续
青岛 王新宇
2005.7.15
--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 20:07:37 楼主(7): 数学成果展示：数论
形象的表达素数的分布(续4)..........qdxinyu20050715
`````继续介绍精确的素数个数的公式:
````````{`````1```````1!`````````2!````````````(k-1)!```}
π(M)≈M{--------+-----------+-----------+....+---------}
........{(2.3m.o)..(2.3m.o)^2..(2.3m.o)^3.....(2.3m.o)^k}
给定数M内的素数的个数等于M与“数项系数累加和”的积。
(2.3m.o)是M的常用对数值转换成自然对数值的简化写法。
Ln10==2.302585092..是换底系数，m.o是常用对数首数.尾数。
计算的关键是：项数k的多少，
2√Ln10=2√2.3..==2·1.517427129..==3.034854259..，
在M〈10^4,取“k=|2(√LnM)-2|==|2(√2.3m)-2|=|3(√m)-2|”
在M〉10^4,取“k=|2(√LnM)-3|==|3.034(√m)-3|=|(1.011(√m)-1)3|”
k(10^1)==|(3(√1)-2|==|3-2|=1
k(10^2)==|(3(√2)-2|==|4.2-2|=2
k(10^3)==|(3(√3))-2|==|5.2-2|=2
k(10^4)==|((√4)-1)3|==|1·3|=3
k(10^5)==|((√5)-1)3|==|1.2·3|=3
k(10^6)==|((√6)-1)3|==|1.4.·3|=4
k(10^7)=|(1.01(√7)-1)3|=|1.67·3|=5
k(10^8)==|((√8)-1)3|==|1.8·3|=5
k(10^9)==|(1.01(√9)-1)3|==|2·3|=6
k(10^16)=|(1.01(√16)-1)3|=|3·3|=9
k(10^25)=|(1.01(√25)-1)3|=|4·3|=12
k(10^36)=|(1.01(√36)-1)3|=|5·3|=15
k(10^(100))=|(1.01(10)-1)3|=|9·3|=27
k(10^(10000))=|(1.01(100)-1)3|=|100·3|=300
k(10^(1000000))=|(1.011(1000)-1)3|=|1000·3|=3030
k的值与M的对数的首数有关,首数每增大一个平方数,k的值增大3。
素数个数的公式:有三种公式,分别为(1),(2),(3)
累加各项解（1），最重要的是解的位数（3），可以用对数的
的运算获得（2）。 例如：
求：10^4内的素数个数。Ln10^4=2.3·4=9.210..,Lg10^4==4,
(Lg9.21)==(0.9642)，(Lg9.21)^2=1.92,(Lg9.21)^3=2.88,Lg2=0.3
``````````````{``1``````1````````2```}
π(10^4)≈10^4{-----+--------+-------}.......(1)
..............{(9.21).(84.83).(781.3)}
Lgπ(10^4)≈{(4-0.9642)+(4-1.93)+(4+0.3-2.88)}
============{(3.0358)+(2.07)+(1.4)}................(2)
π(10000)=====1085+117+25====1229..实际素数个数1229
5位数的解=====4位含3位含2位=====5位数的数有4位数个的素数..(3)
求：10^6内的素数个数。Ln10^6=2.3·6=13.81551,Lg10^6=6
(Lg13.81551)=(1.140367)，(Lg13.)^2=2.2807.,(Lg13.)^3=3.42,
(Lg13.)^4==4.5614,Lg2=0.3.,Lg6=0.778.
````````````````{``1`````1``````2````````6```}
π(10^6)≈(10^6){-----+------+-------+-------}......(1)
................{13.8..190.8..2639.9..36430.7}
Lgπ(10^6)≈{(6-1.140367)+(6-2.28)+(6+0.3-3.42)+(6+0.778-4.561)}
============{(4.859633)+(3.7193)+(2.88)+(2.217)}...........(2)
π(1000000)====72382.4+5239.2+758.4+164≈78545,.实际有78498个
7位数的解=====5位含4位含3位含3位===7位数的数有5位数个的素数..(3)
求：10^9内的素数个数π(10^9)。Ln10^9=2.3·9=20.7
``````````````{````1````````1``````````2!````````````5!`````}
π(10^9)≈10^9{--------+----------+-----------+...+---------}
..............{(2.3·9)..(2.3·9)^2..(2.3·9)^3...(2.3·9)^6}
```10^9``10^9``2·`10^9``6·10^9``24·10^9``120·10^9
==-----+-----+---------+--------+---------+-----------
...20.7..429.4..8899.6...184430...3822002....79204378
```10^9``10^9`````10^9`````10^9``````10^9```````10^9
==-----+-----+----------+----------+----------+-----------
...20.7..429.4...4449.8....30738.....159250.....660036
Lgπ(10^9)≈{(9-1.316)+(9-2.633)+(9+0.3-3.948)+(9+0.778-5.266)
.............+(9+1.38-6.582)+(9+2.07-7.89)}
====={(7.68354)+(6.367)+(5.3516)+((4.512)+(3.798)+(3.18)}.....(2)
π(1000000000)=48254942+2328539+224727+32532+6279+1514≈50848536
10位数的解====8位含7位含6位含5位含4位含4位=10位数的数有8位数个的素数.......................(3)
1000000000内...................实际素数个数有....50847534
公式(1)常规解法，复杂。
公式(2)分项取对数法，简单。
公式(3)取分项位数法。直观。
公式(3)对于表示数的位数，素数个数的位数，筛留比例，很明确。
可以利用公式(2),对应找到公式(3)的解,
更大的数，其公式(3)的解的规律,对于判断素数的相对大小,误差大小是足够用的。让我们继续深入吧。
青岛 王新宇
2005.07.17
--- 天堂向左地狱向右回帖时间:2005-07-25 20:09:00 楼主(8): 数学成果介绍：数论
素数分布与新宇的位数筛法..........qdxinyu20050723
````新宇的位数筛法依据的原理:采用比素数定理准确，比Li(M)准确的新素数公式,进行推证。新素数公式如下：
````````M```````M```````M```````````````M
π(M)≈------==------+--------+.....+---------
.......2.3m-1..(2.3m).(2.3m)^2.......(2.3m)^k
m为M的常用对数，项数k有规定的公式解。
```````素数越来越稀少,
给定的数M`````````多少位数有一个素数,..素数个数与数的比例,
10^(4.34294482.+1),每1位整数有一个素数,占1/10,
10^(43.4294482.+1),每2位整数有一个素数,占1/100,
10^(434.294482.+1),每3位整数有一个素数,占1/1000,
10^(4342.94482.+1),每4位整数有一个素数,占1/10^4,
10^(43429.4482.+1),每5位整数有一个素数,占1/10^5,
10^(434294.482.+1),每6位整数有一个素数,占1/10^6,
10^(4342944.82.+1),每7位整数有一个素数,占1/10^7,
10^(43429448.2.+1),每8位整数有一个素数,占1/10^8,
10^(434294482.+1),每9位整数有一个素数,占1/10^9,
..............................................
(0.434294482.)10^m,每m位整数有一个素数,占1/10^m,
.............................................
M=(1/Ln10)10^m=(0.434294482.)10^m=4.(小数点前有m位)..
给定的数M=10的m次幂=10的对数的倒数,小数点右移指数m位
注意:“m”，“m+1”的整数位数相等。
称:10的m次幂的“m+1”为给定数的位数，对应“LgM”,
称:多少位数有一个素数为筛除位数,对应“Lg(2.3m-1)”,
例如：10000/1229=8.13.，为：5位数有个位数个的素数。
``````素数分布的层次，
若Lg(2.3m)<1,则Lg(2.3m)的积,就更小,
即：M<10^(4.3)时..............,k=|2(√2.3m)-2|
若1即：(4.3)若Lg(2.3m)>2,则Lg(2.3m)的积,就更大,
即：M>10^(43)时....,k=|m/Lg(2.3m-1)|=|m/Lg(2.3m)|
素数分布的层次，决定了项数k有三个设定的公式解
``````素数永远存在,且素数个数的增多与数的增大成正比,
给定的数M`,有多少位整数位个素数,素数位数与给定数位数的比例,
10^(4.34294482.+1),有(5-1)位整数位个素数,........占4/5,
10^(43.4294482.+1),有(44-2)位整数位个素数,.....占42/44,
10^(434.294482.+1),有(435-3)位整数位个素数,..占432/435,
10^(4342.94482.+1),有(4343-4)位...个素数,...占4325/4343,
10^(43429.4482.+1),有(43430-5)位..个素数,.占43425/43430,
10^(434294.482.+1),有(434295-6)位.个素数,占434289/434295,
.......................................................
称:有多少位整数位个素数,为“筛留素数位数”。对应“Lgπ(M)”。
“筛留素数位数”等于“给定数的位数”减去“筛除位数”。
即对应着对数运算：Lgπ(M)==LgM-Lg(2.3m-1)
例如：10000/8≈1229，为：5位数有4位数个的素数。
运算：5位数的给定数-1位数的筛除数==4位数的筛留素数
````素数定理的公式的解可以代表素数个数的大小,
因为素数定理的公式的解的位数就是新公式素数个数首项解的位数，就是新公式素数个数总解的位数。
称:素数定理的公式的解为素数的理论个数,
新素数公式；
````````M```````M```````M```````````````M
π(M)≈------==------+--------+.....+---------.....（1）
.......2.3m-1..(2.3m).(2.3m)^2.......(2.3m)^k
Lgπ(M)==LgM-Lg(2.3m-1)
===[LgM-Lg(2.3m)]+[LgM-2Lg(2.3m)]+[LgM-3Lg(2.3m)]+
]+[LgM-4Lg(2.3m)]+...+[LgM-kLg(2.3m)]
新公式素数个数非首数项的解的位数都小于首数项的解的位数，
且逐项内部包含,即首项含2项含3项含4项..含k项,
``````新素数公式的求解；
先利用对数运算,较简单的算出解的对数,再换算出真解,
对数解:等于项数倍个给定数减去“一个等差数列的累加和”。
Lgπ(M)==[LgM-Lg(2.3m)]+[LgM-2Lg(2.3m)]+..+[LgM-kLg(2.3m)]
===k·LgM+{-Lg(2.3m)-2Lg(2.3m)-3Lg(2.3m)-...-kLg(2.3m)}
===k·LgM-{Lg(2.3m)+2Lg(2.3m)+3Lg(2.3m)+...+kLg(2.3m)}
===k·LgM-[(1+k)k/2]Lg(2.3m)
===k·LgM-kLg(2.3m)/2-kkLg(2.3m)/2
===k·{LgM-[(1+k)/2]Lg(2.3m)}
对数解;等于项数倍个最末项的解加上“一个等差数列的累加和”。
Lgπ(M)==[LgM-Lg(2.3m)]+[LgM-2Lg(2.3m)]+..+[LgM-kLg(2.3m)]
==={(k-1)+(k-2)+(k-3)+...+1}Lg(2.3m)+k[LgM-kLg(2.3m)]
==={k(k-1)/2}Lg(2.3m)+k[LgM-kLg(2.3m)]
===k·LgM-kkLg(2.3m)-kLg(2.3m)/2+kkLg(2.3m)/2
===k·LgM-kkLg(2.3m)/2-kLg(2.3m)/2
```筛留素数位数”等于“给定数的位数”减去“筛除位数”。
对应：（Lgπ(M)）==（LgM）-（Lg(2.3m)）
````理论的项数等于“给定数的位数”减去“筛除位数”,再减去。“再减去,直到0,减的次数。
即理论的项数等于“给定数的位数”除“筛除位数”
k===|m/Lg(2.3m)|
````理论的项数又等于筛除位数m的理论素数的个数
给定的数M`````m/Lg(2.3m)====k=========10^()/2.3()
10^(4)``````````4/1=========4============10/2.3
10^(43)`````````43/2========21==========100/4.6
10^(434)````````434/3=======144========1000/6.9
10^(4342)```````4342/4======1085=====10^(4)/2.3(4)
10^(43429)``````43429/5=====8686=====10^(5)/2.3(5)
10^(434294)`````434294/6====72382====10^(6)/2.3(6)
10^(4342944)````4342944/7===620420===10^(7)/2.3(7)
10^(43429448)```43429448/8==428681===10^(8)/2.3(8)
待续,
青岛 王新宇
2005.07.23
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发表于 2011-5-3 10:58
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