勾股嵌套

elim

天山草

好题目。昨天我也在想这个问题。只是第一行 d,u,v 均为正整数，N 的右上角应是 + 号。


其中的一组嵌套数是下面这组：



还有无穷多的例子。应该导出一个公式才好。

luyuanhong

任取三个互质、不等的正整数 p＜q＜r ，令

d = 2pqr ，u = (rp)^2 + q^2 ，v = (rq)^2 + p^2 。

这时

u^2 - d^2 = [(rp)^2 - q^2]^2 ，v^2 - d^2 = [(rq)^2 - p^2]^2

都是完全平方数。

例如，取 p = 1 ，q = 2 ，r = 3 ，可得 d = 12 ，u = 13 ，v = 37 。

这时 u^2 - d^2 = 25 = 5^2 ，v^2 - d^2 = 1225 = 35^2 都是完全平方数。

天山草

陆教授的好东西太多了，随手拈来哈。用这个结果求梯形参数如何？（可以，但是在 0<p<q<r 限制下，会丢掉一些解）

elim

天山草 发表于 2017-4-18 17:25
陆教授的好东西太多了，随手拈来哈。用这个结果求梯形参数如何？

例如 i=j=2, k=3,  (m,n,m',n') = (3,4,2,6) 逐得
(7,24,25),(32,24,40). 这就是我用来构造等腰梯形的
一组数据. 注意这时对角线倾角的正弦是

2m'n'/(n'^2+m'^2),\; 等面积，周长,对角线的对偶梯形
的对角线倾角必为 (n'^2-m'^2)/(n'^2+m'^2) 这可能
是导致对偶梯形不可能全为整数边的原因。

luyuanhong

设 d^2 是一个完全平方数，如果 d 能够用两种不同的方法，分解为两个同奇偶、不等的正整数的乘积：

    d^2 = m×n = p×q ，0＜m＜p＜q＜n ，(m+n)≡(p+q)≡0(mod 2) 。

则有   d^2 = [(n+m)/2]^2 - [(n-m)/2]^2 = [(q+p)/2]^2 - [(q-p)/2]^2 。

例1  d = 8 ，8^2 = 2×32 = 4×16 。

   (32+2)/2 = 17 ，(32-2)/2 = 15 ，(16+4)/2 = 10 ，(16-4)/2 = 6 。

    所以有   8^2 = 17^2 - 15^2 = 10^2 - 6^2 。

例2  d = 12 ，12^2 = 2×72 = 8×18 。

   (72+2)/2 = 37 ，(72-2)/2 = 35 ，(18+8)/2 = 13 ，(18-8)/2 = 5 。

    所以有   12^2 = 37^2 - 35^2 = 13^2 - 5^2 。

例3  d = 24 ，24^2 = 18×32 = 8×72 。

   (32+18)/2 = 25 ，(32-18)/2 = 7 ，(72+8)/2 = 40 ，(72-8)/2 = 32 。

    所以有   24^2 = 25^2 - 7^2 = 40^2 - 32^2 。

例4  d = 9 ，9^2 = 1×81 = 3×27 。

   (81+1)/2 = 41 ，(81-1)/2 = 40 ，(27+3)/2 = 15 ，(27-3)/2 = 12 。

    所以有   9^2 = 41^2 - 40^2 = 15^2 - 12^2 。

天山草

下面这个方程有没有正整数解？



第一个方程是两个梯形的周长相等；
第二个方程是两个梯形的面积相等；
第三个方程是两个梯形的对角线相等。

貌似找不到正整数解。

两个等腰梯形的对角线长 V 是相等的。如何将 V 的平方以两种不同的方式分解成两个平方数的和？

elim

给定一等腰梯形，设其对角线长为 d, 高为 h, 则对角线倾角θ由 sin θ = h/d 决定.
该等腰梯形的面积是 d^2 sin 2θ. 由于你要找的对偶等腰梯形有同样的对角线长，
设其对角线倾角为 φ，则有 sin 2θ = sin 2φ,  2φ = π-2θ,  φ = (π/2)-θ
为了周长相等，设对偶等腰梯形而对角线互相分割成 x , d-x, 则有方程

2 d cos φ + 2√(x^2+(d-x)^2-2x(d-x)cos(2φ)) = p (原梯形周长)

cos φ = sin θ,   cos 2φ = 2(cos φ)^2 -1 = 2(sin θ)^2-1, 得 x 的方程

x^2 + (d-x)^2 + 2x(d-x)(2(h/d)^2-1) = (p/2 - h)^2

由 d,  x 及 φ, 对偶梯形被唯一确定。它的各边能否均为整数，完全取决于 x,
进而完全取决于原等腰梯形.

经计算, 一切归结为 p(p - 4h)+4(2h^2 - d^2) 是否是完全平方数。如果是，
就可得整数边等腰梯形偶对，否则没戏。

朱明君

天山草 发表于 2017-4-18 22:43
好题目。昨天我也在想这个问题。只是第一行 d,u,v 均为正整数，N 的右上角应是 + 号。

天山草

回应上面 8 # 楼 elim 的帖子， 满足要求的平方数有无穷多：

由原梯形的这些数据，如何求出对偶梯形？