敢峰、雷明二人的最小H—构形集是相同（通）的

雷明85639720

敢峰、雷明二人的最小H—构形集是相同（通）的
雷  明
（二○一七年四月二十日）

在敢峰的文章里，他把最小的H—构形叫做“四色不可解线路集合终极图”，与我们平时所说的最小的H—构形是同一个概念。

1、敢峰的第一个“四色不可解线路集合终极图”
敢峰在一九九二年出版的《证明四色定理的新数学——图论中锁阵运筹》一书中，从估意设立有两条连通且交叉链的思想出发，经过二十步大演绎，构造了一个“四色不可解线路集合终极图”，如图1。几乎就在同一时期，英图的米勒等也于一九九二年在牛津大学《数学季刊》第二期上发表的《理应已知的赫渥特范例》一文中构造了这个图（由于图具有拓朴的性质，同一个图，不同的人有不同的画法，所以我这里画了四个人的画法，其中我把米勒的待着色顶点隐去的画法改成了待着色顶点显出的画法）。但米勒不能对该图进行4—着色，而敢峰却成功的对其进行了4—着色，所以我把该图叫做“敢峰—米勒图”。
该图中除了有两条连通且相交叉的链A—C和A—D 外，也不能同时移去两个同色B。但图中却有两条环形链A—B和C—D，分别把其相反色链C—D和A—B分隔为环内、环外互不连通的两部分，分别交换环内和环外的任一部分，都可以使图变成可以同时移去两个同色的K—构形而得解。
敢峰1992年只是用了交换A—B环形链内、外的任一条C—D链的一种办法，使图变成了一个可以同时移去两个同色B的构形，解决了该图待着色顶点V的着色问题。而米勒却认为按同一方向旋转交换关于两个同色B 的链的“赫渥特颠倒”后，又得到了不能同时移去两个同色D或C的构形，再继续同方向交换（或颠倒），又是得到不能同时移去两个同色A或B的同样结果，他就认为出现了无限的循环，从而放弃了他们企图用从给赫渥特图着色过程中总结出来的“赫渥特颠倒”的方法解决四色问题的想法。
然而敢峰不但用了上述方法解决了该图的着色问题，而且也用了与米勒的“颠倒法”相同的交换，认为再演绎（颠倒或交换）二十次后，才会出现一次大的循环，各顶点又会回到原来的着色状态。但在这二十次“演绎”中，他却发现，每一次交换的结果中，都有一个A—B环，交换的每一个结果只要在A—B环内、外任意进行C—D链的交换，都可以使图变成K—构形而得解。从而使敢峰—米勒图彻底失去不可4—着色的可能。关于敢峰—米勒图的着色方法，我们过去已说过多次，所以这里也就不再画图了。
这一对敢峰—米勒图的着色方法，应该是敢峰早在一九九二年就使用了的，但在二○一○年出版的署名是张彧典著的书——《四色问题探秘》——中却冠以“Z—换色程序”（Z是“张”字的第一个汉语拼音字母）之名，我认为这是非常不合理的。至少我了解敢峰的这本书的信息，还是张彧典先生向我介绍和推荐的。
2、雷明的四个最小的H—构形的不可免集
二○一六年年底，雷明也构造了四个图，我把它们叫做H—构形的不可免集，是四个最小的“十五点形”构形，如图2。
这个构形集中的四个图，除了有两条连通且相交叉的链A—C和A—D 外，也都不能同时移去两个同色B。a类中还有一条环形的A—B链，把C—D链分成了环内、环外互不连通的两部分。解决的办法是交换A—B环内、外的任一条C—D链，都可以使图变成K—构形而得解；b类中却有一条环形的C—D链，也把A—B链分成了环内、环外互不连通的部分。解决的办法则是交换C—D环内、外的任一条A—B链，也都可以使图变成K—构形而得解。然而敢峰的敢峰—米勒图却囊括了这二者的共同特点和性质，用解决a类和b类的任一种方法都可以给敢峰—米勒图进行4—着色。所以说，a类和b类是对敢峰—米勒图的分开表示方法，而敢峰—米勒图则是对a类和b类的合一表示方法。

3、敢峰的第二个“四色不可解线路集合终极图”
最近敢峰又在其《海岛理论与四色问题》一文中用阻止图中出现环形链的办法，构造了一个“四色不可解线路集合终极图”，如图3（A）和图3（B）。
这两个图，表面上看似乎与我的H—构形集中的图差别很大，但仔细看一下，就会发现我是把图最后都变成了三角剖分图，最外圈只有三个顶点，当然只能占用三种颜色（A、C、D）了；而敢峰则是把图最外圈变成一个5点3色（A、C、D）式，并在其外加了一个隐点B或A，图仍然是三角剖分图。只是敢峰的图比我的图多了一个顶点，我是“十五点形”，而敢峰的图是“十六点形”。如果把敢峰的图变成一个最外圈只有三个顶点的图时，就成了图4（A）和图4（B）的图了。


这两个图实际上就是我的H—构形不可免集中的c类和d类中的一种（同左式c类。我的c类和d类是一左一右的，二者归为一类也是可以的），他们共同的特点都是：除了有两条连通且相交叉的链A—C和A—D 外，也都不能同时移去两个同色B。同时图中都没有任何的环形链，A—B链和C—D链都是直链（道路）。解决的办法只能是从两个同色B中的任一个开始，进行一次转型交换（即“演绎”或“颠倒”），使图变成可以同时移去两个同色D或C的K—构形而得解，或者变成类似于我的构形集中的b类的H—构形，再在其中环形的A—B链内、外任意交换与环形链A—B相反的一条C—D色链，也就可以使图变成K—构形而得解。

敢峰在其《海岛理论与四色问题》一文中只是把图3（A）作为“终极图”进行了解例。用了一种逆时针方向的转型交换，即从图中的左B交换B—D链，使图变成了一个可以同时移去两个同色D的DCD型的K—构形而得解。如图5到图8。





4、各构形间的相互转化
若对图3（A）或图4（A）以顺时针方向进行转型交换，即从图中的左B交换B—D链，就可得到一个类似b类构形的、有环形的A—B链的CDC型的H—构形，再从A—B环内、外任意交换一条C—D链，也可使图变成K—构形而得解。如图9到图11。从图9可以看出，c类构形和d类构形与b类构形是可以相互转化的。



前面1中，敢峰对敢峰—米勒图的第二种着色方法也可以看出，敢峰—米勒图与b类构形也是可以相互转化的。对敢峰—米勒进行一次逆时针的转型交换，就得到一个DCD型的、只有一条A—B环行链的、类似b类构形的H—构形，再进行一次同方向的转型交换，又得到一个ABA型的、既有环形的A—B链，又有环行的C—D链的敢峰—米勒图，若再继续进行交换下去，图总是不断的在这两种构形之间进行转化。这就是米勒所谓的出现了“无限”的循环现象。若对敢峰—米勒图进行顺时针的转型交换，也有同样的现象出现。
但米勒却没有看到，每交换一次后的结果，当即都是可以通过在图中的环形链内、外交换任一条与环形链是相反链的色链，使图变成K—构形而可约。这一点敢峰可是看到了。所以米勒对他的图不能4—着色，而敢峰却可以做到。这就是敢峰先生的伟大之处。
对敢峰—米勒图进行了单数次转型交换后所得到的图，是对类似b类构形的H—构形在环形的A—B链内、外进行的任一条C—D链的交换；而对双数次转型交换后所得到的图，则是对敢峰—米勒图在环形的A—B链或环形的C—D链内、外进行的任一条C—D链或A—B链的交换。
虽然都是对环形的A—B链内、外的C—D链进行的交换，但交换的实质和结果都是不同的。对类似b类构形的H—构形在环形的A—B链内、外进行了任一条C—D链的交换后，所得到的是一个只有一条连通链的一般的K—构形；而对敢峰—米勒图在环形的A—B链内、外进行了任一条C—D链的交换后，所得到的却是一个可以同时移去两个同色的K—构形。
    5、H—构形的不可免集：
从以上的对比看，我的H—构形不可免集是与敢峰的构形（敢峰叫做“四色不可解线路集合终极图”），实际上是一脉相承的，是完全相同的。该集合中的元素少则是三个（把我的a、b两类用敢峰的敢峰—米勒图代替），多则是四个（把敢峰的敢峰—米勒图分开用我的a、b两类表示），当把我的c、d两类合并为一类时，该集合中的元素少则是两个，多则也只是三个。
另外，我们注意到我的c、d两类构形与b类构形的相互转化是通过转型交换实现的，敢峰—米勒图与我的b类构形的相互转化也是通过转型交换而实现的。因此，我们也对我的a类构形进行了转型交换，结果也得到了类似我的b类构形的H—构形。所以，我们得出结论，只要是不能同时移去两个同色B的H—构形，都可以统一通过转型交换，使图变成类似于b类构形的H—构形，然后再用同一种方法使该H—构形转化成K—构形而得到解决。


雷  明
二○一七年四月二十日于长安

注：此文已于二○一七年四月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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帮人改成绩真可耻！