在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数有几个？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

1-10000  各位數字和=25  有幾個?

luyuanhong

题  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数有几个？

解  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数，必定由四个数字（包括0）组成。

    有下列三种情况：

（一）四个数字中，有三个相同，另有一个不同，这样的四个数字有下列 3 组：

    (8,8,8,1),(7,7,7,4),(6,6,6,7)。

     每组数字中，一个单独的数字可以有 4 种位置，所以这样的数共有 3×4 = 12 个。

（二）四个数字中，有两个相同，另有两个不同，这样的四个数字有下列 16 组：

    (9,9,7,0),(9,9,6,1),(9,9,5,2),(9,9,4,3),

    (8,8,9,0),(8,8,7,2),(8,8,6,3),(8,8,5,4),

    (7,7,9,2),(7,7,8,3),(7,7,6,5),

    (6,6,9,4),(6,6,8,5),

    (5,5,9,6),(5,5,8,7),

    (4,4,9,8)。

    每组数字中，第一个单独的数字可以有 4 种位置，第二个单独的数字可以有 3 种位置，

    所以这样的数共有 16×4×3 = 192 个。

（三）四个数字各不相同，这样的四个数字有下列 6 组：

    (9,8,7,1),(9,8,6,2),(9,8,5,3),(9,7,6,3),(9,7,5,4),(8,7,6,4)。

    每组数字中，四个数的位置可以任意排列，所以这样的数共有 6×4！= 6×24 = 144 个。

    由上面的分析可知，在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数共有

             12+192+144 = 348 个。

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-4-26 00:17
题  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数有几个？

解  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数 ...

题：  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数有几个？等同于：  在 1～10000 中，各位数字之和等于 11 的数有几个？

一般地，我们有：
1，4个（可以是1，2，3，4）数（可以是0）之和是11的数有364个（查下表）

            和是1  和是2  和是3  和是4  和是5  和是6  和是7  和是8  和是9   和是10   和是11   
1个数        1        1        1        1        1        1        1        1        1          1          1
2个数        2        3        4        5        6        7        8        9       10        11        12
3个数        3        6       10      15       21      28      36       45       55       66        78
4个数        4       10      20       35      56      84     120     165     220      286      364
5个数        5       15      35       70     126     210    330     495     715    1001     
6个数        6       21      56      126    252     462     792   1287    2002
7个数        7       28      84      210    462     924   1716    3003
8个数        8       36     120     330

2， 在 1～10000 中，各位数字之和等于 11 的数有364 - 16=348个

3，16的由来：
    11
    1+10
    10+1
    11+0
    1+0+10
    1+10+0
    10+0+1
    10+1+0
    11+0+0
    1+0+0+10
    1+0+10+0
    1+10+0+0
    10+0+0+1
    10+0+1+0
    10+1+0+0
    11+0+0+0
        

谢芝灵

luyuanhong 发表于 2017-4-25 16:17
题  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数有几个？

解  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数 ...

还得补上三位数的（三个数字的），两位数冲上天也得不到25。

（9，9，7），（9，8，8）共：997，979，799，988，898，889  ===六个

luyuanhong

题  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数有几个？

解  在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数，必定由四个数字（包括 0）组成。

    每一个 0～9 中的数字 an ，都唯一对应于一个 0～9 中的数字 9-an（n=1,2,3,4），四个数字之和

    a1+a2+a3+a4=25  就对应于 (9-a1)+(9-a2)+(9-a3)+(9-a4)=36-(a1+a2+a3+a4)=36-25=11 。

    可见，各位数字之和等于 25 的数，与各位数字之和等于 11 的数，是一一对应的。所以，本题要求

“各位数字之和等于 25 的数有几个”，其实只要求“各位数字之和等于 11 的数有几个”就可以了。

    下面先不考虑数字不能大于 9 的限制，看看四个非负整数之和等于 11 ，共有几种情况：

    这相当于要在一排 11 个球中，插入 3 块隔板，将球分成 4 段，也就是相当于要在 11+3=14 个位置中，

选 3 个位置放隔板，其余位置放球，共有 C(14,3)=364 种不同的情况。

    下面再考虑减去有数字大于 9 的情况：

    一种是 (10,1,0,0) ，在 4 个位置中选一个放 10 ，有 4 种选法，再在剩下 3 个位置中选一个放 1 ，

有 3 种选法，所以，这样的情况有 4×3=12 种。

    另一种是 (11,0,0,0) ，在 4 个位置中选一个放 11 ，有 4 种选法，所以，这样的情况有 4 种。

    可见，数字大于 9 的情况共有 12+4=16 种。

    所以，数字不大于 9 ，四个数字之和等于 11 的情况数为 364-16=348 种。

    也就是说，在 1～10000 中，各位数字之和等于 25 的数共有 348 个。

天山草

mathematica 中有求各位数字和的命令。写个小程序：



答案是 348。跟陆教授计算的完全相同。

谢芝灵

天山草 发表于 2017-4-27 02:14
mathematica 中有求各位数字和的命令。写个小程序：

还得补上三位数的（三个数字的），两位数冲上天也得不到25。

（9，9，7），（9，8，8）共：997，979，799，988，898，889  ===六个

加进了三位数的程序吗？

天山草

谢芝灵 发表于 2017-4-27 10:19
还得补上三位数的（三个数字的），两位数冲上天也得不到25。

（9，9，7），（9，8，8）共：997，979， ...

肯定都加进去了。

谢芝灵

天山草 发表于 2017-4-27 03:06
肯定都加进去了。

你程序是设计四位 和 三位数 吗？我看到陆老师的全是四位数呢？