2a+3b-2c=0 ，a^2+b^2+c^2=9 ，求 (4a+5c)^2+(3c+4a)^2+(5a-3b)^2 的最大值和最小值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

2a+3b-2c=0,  a^2+b^2+c^2=9,  

(4a+5c)^2+(3c+4a)^2+(5a-3b)^2 之 max,  min,  及此時的  a,b,c ?

谢芝灵

2a+3b-2c=0
得 a+3b/2=c
a^2+b^2+c^2=9
得 ： a^2+b^2+（a+3b/2）^2=9
        a^2+（13/8）b^2+（3/2）ab=9/2
a^2+（13/8）b^2+（3/2）ab+（9/16）b^2-（9/16）b^2=9/2
（a+3b/4）^2+（17/16）b^2=9/2          （1）
第一种情况：在（1）中，（a+3b/4）^2 取最大值，则 （17/16）b^2取最小值b=0
得 a^2=9/2   ，a=c=±（3√2）/2
第二种情况：在（1）中，（a+3b/4）^2 取最小值0，a=-3b/4
则 （17/16）b^2取最大值（17/16）b^2=9/2
b=±√（72/17）
2a+3b-2c=0 得 -3b/2+6b/2=2c
c=3b/4=±（3/4）√（72/17）
a=-±（3/4）√（72/17）

第一种情况：（4a+5c)^2+(3c+4a)^2+(5a-3b)^2
                =81[（3√2）/2]^2+49[（3√2）/2]^2+25[（3√2）/2]^2
                =1395/2
第二种情况：（4a+5c)^2+(3c+4a)^2+(5a-3b)^2
                =[±（3/4）√（72/17）]^2+[-±（3/4）√（72/17）]^2+[-±5（3/4）√（72/17）-±3√（72/17）]^2
                =（9/16）（72/17）+（9/16）（72/17）+（72/17）（729/16）
                =6723/34

得 当 b=0，a=c=±（3√2）/2，有最大值 1395/2
    当 b=±√（72/17），a=-±（3/4）√（72/17），c=±（3/4）√（72/17），有最小值6723/34

luyuanhong

谢谢楼上 谢芝灵 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。