从 A1 出发，在每一路口随机选择方向，每段路走 1 分钟，求到达 A6 所需时间的期望值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

Ysu2008

将题目所述过程看作6个状态且有一个吸收壁的马氏链，可得状态转移矩阵:

R =
       0              1/2            1/2            0              0      
       1/4            0              1/4            1/4            1/4     
       1/4            1/4            0              0              1/4     
       0              1/2            0              0              1/2     
       0              1/4            1/4            1/4            0      

G = (I-R)^(-1) =
      20/9            8/3           20/9           10/9           16/9     
       4/3           10/3            2              4/3            2      
      10/9            2             22/9            8/9           14/9     
      10/9            8/3           16/9           20/9           20/9     
       8/9            2             14/9           10/9           22/9     

由马氏链理论，矩阵 G 各行向量元素和就是各个状态抵达吸收状态A6的平均转移步数（等价于本题期望时间）：
E(A1)=10
E(A2)=10
E(A3)=8
E(A4)=10
E(A5)=8

luyuanhong

谢谢楼上 Ysu2008 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。