如图，已知 AB=BC ，BD=AC ，∠BCD=50°，求 ∠B

luyuanhong · 发表于 2017-4-24 10:31

这是网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

AB線段等於BC線段，BD線段等於AC線段，角BCD=50度，求角B

jzkyllcjl · 发表于 2017-4-24 17:23

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-4-25 00:41 编辑

令 cos ∠B =x 根据余弦定理得方程：DD^2=AC^3=2BC^2(1-x) 即 BD/BC=√2（1-x）根据正弦定理得: BD/BC-sin50度/sin(130度- ∠B)=sin50度/(sin50度× x +cos50度×√(1-x^2)) 于是得
√2（1-x） =sin50度/(sin50度× x +cos50度×√(1-x^2)) 若能由此解出未知数x, 查表即得角B

jzkyllcjl · 发表于 2017-4-25 14:53

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-4-26 11:16 编辑

第一，解2楼方程太难，涉及到六次方程。第二，50度角的三角函数无法绝对准算出，这个问题的代数方程解法中必须使用近似计算方法；第三，可以使用假设验证法，第一步，设∠B =90度，得 BD小于AC；第二步设∠B =110度，得BD大于AC，第三步，设AB=BC=1,并设 ∠B =100度，应用正弦定理计算得： AC=sin100度/sin40度=2sin50度=sin50度/sin30度= BD≈1.532088886 .这就说明：∠B =100度满足要求的AC=BD的条件。
请楼主与网友审查这个结果如何？

谢芝灵 · 发表于 2017-4-25 22:01

jzkyllcjl 发表于 2017-4-25 06:53
第一，解2楼方程太难，涉及到六次方程。第二，50度角的三角函数无法绝对准算出，这个问题必须使用近似计 ...

这个题会让人联想到三等分角的问题。

取AB=BC=1,可以，关健是要证明 ∠B =100度

六次方程，这里有些数可联系：根与系数。
因为（x1）^2+(x1)(x2)+（x1）^2=3/4

谢芝灵 · 发表于 2017-4-25 22:12

-cosB=（sin50）/2sin(B+50)-1+[sin50/sin(B+50)-1]sin(B/2)
-2cosBsin(B+50)=sin50-2sin(B+50)+2[sin50-sin(B+50)]sin(B/2)

八次方程，第一次平方后就是四次方，还得再平方一次。变成八次方。
应该有别的方法转换。

shuxuestar · 发表于 2017-4-25 22:51

∠b=90度，证起来很麻烦。

elim · 发表于 2017-4-26 00:09

本帖最后由 elim 于 2017-4-25 10:04 编辑

假定 ∠b=90度，作图可看出 ∠BCD ≠ 50度。所以楼上 shuxuestar 的论断不对。

elim · 发表于 2017-4-26 06:16

本帖最后由 elim 于 2017-4-27 06:22 编辑

luyuanhong · 发表于 2017-4-26 07:16

楼上 elim 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

jzkyllcjl · 发表于 2017-4-26 08:51

本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-4-26 11:18 编辑

elim 发表于 2017-4-25 22:16

第一，你得出的 AC 长度不准确，因此你算出的不是100度。
第二，验证工作是必要的，但是也可以如下验证： AC=sin100度/sin40度=2sin50度=sin50度/sin30度= BD

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如图，已知 AB=BC ，BD=AC ，∠BCD=50°，求 ∠B

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