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难题征解

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发表于 2006-3-18 22:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
难题征解
简单平常题——难题(怪题)——世界性难题
在K12网站的数学俱乐部版上,3月14日登出一个几何题。
已知:△ABC,∠BAC=45°⑴,AD⊥BC延线于D⑵,AD延长至F,使AF=BC⑶,连AF与AC延线交于E。
求证:AE⊥BE。
(一)简单平常题:图形简单,条件简单。
(二)难题(怪题):此题登出后,无人作出提示或解答。许多人看了说,三个条件简单,似乎好用,但互不关联,无从下手。添线也不知从何处作。所以都说这是怪题。
(三)世界性难题:我是中学数学解题爱好者,看到这样妙题,真是喜欢,感谢设计出此题的人,真是山外有山,天外有天。我只懂点初中知识,我想解题高手,会用高中三角函数、解析几何、向量、或添出巧妙的辅助线来证明。我又想,不添辅助线也能证明吗?提出数学证明的限定条件,合不合于常规,允不允许。如果允许设定“不添辅助线”这个限定条件,此题是否是世界性难题?那么可否向国内外各数学网站发布此题,考一考国外中学数学解题爱好者,以便交流信息,探讨中学数学解题规律。
因为我看到,世界性难题“用圆规和无刻度直尺不可能三等分一任意角”,“无刻度”就是限定条件,外国人能设定,难道中国人就不能设定。
我是无名小卒,我研究中学数学解题久了,也有点心得。《解题之路,自有题示。》最难的题也会露出点蛛丝马迹,总会有端倪可探。此题条件∠BAC=45°⑴特殊,很难用,必须先从用⑴下手(一般作垂直线)。另外图形明示,有三条分角线,可用《分角定理》,能快速判断和操作。
0759-2351089,0739-5344277,           古稀老人       张光禄         2006,3,16
发表于 2006-3-18 23:49 | 显示全部楼层

难题征解

楼主:你好!
    你的介绍有误,我觉得已知的结尾应该是“连BF与AC延线交于E”。
    对否?
发表于 2006-3-20 21:33 | 显示全部楼层

难题征解

不难[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 haizhou 时添加 -=-=-=-=-
用反向的思路反证法将迎刃而解。
发表于 2006-3-22 09:05 | 显示全部楼层

难题征解

2、已知:△ABC,∠BAC = 45°,AD⊥BC延线于D,AD延长至F,使AF = BC,连BF与AC延线交于E。求证:AE⊥BE。
证明:过点C作CG∥FA,且使CG = BC,交AB于H,联结AG、BG、CF。
∵ AF = BC,∴ CG = AF,∴ 四边形AFCG是平行四边形,∴ AG∥FC,
∵ AD⊥BC,∴ CG⊥BC,∴∠BGC =∠GBC =∠BAC = 45°,∴ A、G、B、C四点共圆,∴ ∠BAG =∠BCG = 90°,∴ AG⊥AB,∴ CF⊥AB,∴ C是△ABF的垂心,
∴ AE⊥BE。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zhzqqj 时添加 -=-=-=-=-
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zhzqqj 时添加 -=-=-=-=-
此题目的确有一定难度,3楼的逆向反证恐怕不太好。
另外,哪位老师告诉我,为什么图片粘贴不上去,怎样才能做到。
发表于 2006-3-23 08:52 | 显示全部楼层

难题征解

现在商传本题的图
发表于 2006-4-7 09:50 | 显示全部楼层

难题征解

此题已经解出
发表于 2010-6-5 17:06 | 显示全部楼层

难题征解

俞根强也不是忒蠢;在傻老头需要的时候,顶底帖的时候,俞根强听调会意;即闹蠢货,,,光俞家荣耀,,,

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