将 8 件不同物品分给甲、乙、丙，一人至少 1，一人至少 2，一人至少 3，有几种分法？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  将 8 件不同物品分给甲、乙、丙，一人至少 1 ，一人至少 2 ，一人至少 3 ，有几种分法？

解  8 件物品符合“一人至少 1 ，一人至少 2 ，一人至少 3”的分法，有下列四种情况：

（一）三人分到物品数为 (1,2,5) 。三人中选一人为 1 ，再选一人为 2 ，有 3×2 种选法。

先从 8 件物品中选 1 件，有 C(8,1) 种选法，再从 7 件物品中选 2 件，有 C(7,2) 种选法。

    所以，这种情况，共有 3×2×C(8,1)×C(7,2)=1008 种分法。

（二）三人分到物品数为 (1,3,4) 。三人中选一人为 1 ，再选一人为 3 ，有 3×2 种选法。

先从 8 件物品中选 1 件，有 C(8,1) 种选法，再从 7 件物品中选 3 件，有 C(7,3) 种选法。

    所以，这种情况，共有 3×2×C(8,1)×C(7,3)=1680 种分法。

（三）三人分到物品数为 (2,2,4) 。三人中选一人为 4 ，有 3 种选法。

先从 8 件物品中选 2 件，有 C(8,2) 种选法，再从 6 件物品中选 2 件，有 C(6,2) 种选法。

    所以，这种情况，共有 3×C(8,2)×C(6,2)=1260 种分法。

（四）三人分到物品数为 (2,3,3) 。三人中选一人为 2 ，有 3 种选法。

先从 8 件物品中选 2 件，有 C(8,2) 种选法，再从 6 件物品中选 3 件，有 C(6,3) 种选法。

    所以，这种情况，共有 3×C(8,2)×C(6,3)=1680 种分法。

    由以上分析可知，符合题目要求的分法总数为 1008+1680+1260+1680=5628 种。

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题  将 4 个相同苹果和 8 个相同的梨子，分给丁、戊、己三人，每人至少一个，有几种分法？

解  先不考虑“每人至少一个”的限制，在可能有人分到个数为 0 的情况下，计算分法种数：

    用“隔板原理”可知，将 4 个苹果分给 3 人，有 C(4+3-1,4)=C(6,4)=15 种分法；将 8 个

梨子分给 3 人，有 C(8+3-1,8)=C(10,8)=45 种分法，所以这时共有 15×45=675 种分法。

    下面考虑 “至少有一人分到个数为 0 ” 的情况：

    先在 3 人中选定一个分到个数为 0 的人，有 3 种选法，将此人除去，剩下 2 人。

    将 4 个苹果分给 2 人，有 C(4+2-1,4)=C(5,4)=5 种分法；将 8 个梨子分给 2 人，有

C(8+2-1,8)=C(9,8)=9 种分法，所以这时共有 3×5×9=135 种分法。

    下面再考虑 “至少有两人分到个数为 0 ” 的情况：

    先在 3 人中选定两个分到个数为 0 的人，有 3 种选法，将此两人除去，剩下 1 人。

    将 4 个苹果分给 1 人，只有 1 种分法；将 8 个梨子分给 1 人，也只有 1 种分法，

所以这时共有 3×1×1=3 种分法。

    “至少有三人分到个数为 0 ” 的情况显然不可能发生，这种情况的分法数为 0 。

    根据 “容斥原理”，可知满足“每人至少一个”限制的分法数为 675-135+3-0=543 种。

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   因为上面求得 N=5628 ，M=543 ，所以 N+M=5628+543=6171 。