数学中术语“极限”对人类的误导

谢芝灵

极限：数学中的一个术语。
极限，不能单独存在。在元素A= x1,x2,x3,...时才有相对应极限存在的可能。
如，x1,x2,x3,...是遂暂变小收敛，则 A有极限a，即 数列A 永远达不到a，永远是靠近a。
极限定义：数列A=x1,x2,x3,...是收敛的，总有 xn＞x（n+1），即 │xn-a│＜ε，则 a是数列A的极限。记作：n→∞，lim A=a

注意：是数列A 永远达不到a，只能无限的靠近a，

人类一直有人误区，如 0.333....是一个无限的变量，即它后面是无穷尽的。
因为：0.333....=3/10+3/100+3/1000+...+3/10^n+3/10^(n+1)+...
即 后面 数有个 3/10^n＞3/10^(n+1)，所以没完没了，无穷尽。
只能说 “3/10+3/100+3/1000+...+3/10^n+3/10^(n+1)+...的极限=1/3”
不能是：3/10+3/100+3/1000+...+3/10^n+3/10^(n+1)+...=1/3
即 0.333....≠1/3
只能是 ：n→∞  lim（ 0.333....）=1/3

为什么数列（或数列之和）达不到极限？总在迫近极限？
我们作个圆，以“单位1”做圆的半径 ，得这个圆面积就是pi，也记作π，
见图：

得四分之一圆面积=π/4
    π/4=△AOB+△ACB+2△ADC+2^2△S1+2^3△S2+2^4△S3+...     (1)
在（1）式中，随着小△的越小越小,则2^n中的n越大，无限大时
（1）右边就无限接近 π/4
而（1）右边我们用三角形面积去累计，会出现一个有趣的现象：每增加一组同样大的三角形面积时，计算的多项式总是一项，增加一个新项，又消减又之前的一个旧 项。大家可去作一作。
我就得到了：


在上公式中的右边，有多少层根号，2上的n就是多少。
即有n层根号，2上的就是n，见（1）式右边首个数 2^n

再看 右边根号内减号之后部分，我提出来了：

    （2）

当n无限大时这个的极根是多少？
答：是 2，
大家可用识算机算：从最里层算
一层根号√2  = 1.414...
二层根号√（2+√2）  = 1.8477...
三层根号√[2+√（2+√2）]  = 1.9615...
随着根号层次无限增加（2）就无限接近2

所以，我们说是：

  极限=2
不是  =2
即   ≠2

假如说    =2

则
右边根号内就是0，得 pi就是0的错误了。

故： ≠2

所以，人类常常犯逻辑错。
把 n→∞  lim（ 0.333....）=1/3  当成 0.333....=1/3

谢芝灵

第一个原始意义：人类用十进位方法 去三等分1，分了之后又有余数1/10，再分后又有余数1/100，这样一直分下去，永远分不完。得到 0.333....，用....简写了后面无限多个3。

第二个数学逻辑意义：3/10+3/10^2+3/10^3+...+3/10^n+... 即一个求和。但这个是无穷尽的，也是一个没后界的没完没了。
                    故，3/10+3/10^2+3/10^3+...+3/10^n+...根本不能集合起来求和。

当然有人会用违反逻辑的方法，设定一个后界3/10^n，（第一个逻辑错误，无限大是没后界的）
    3/10+3/10^2+3/10^3+...+3/10^n=(3/10)[1+1/10+1/10^2+...+1/10^(n-1)]
                                 =(3/10)[1-1/10^(n-1)]/(1-1/10)

用 n无限大 得 1/10^(n-1)=0  （第二个逻辑错误，1/10^(n-1)≠0）（第三个逻辑错误，n无限大，则∞不能进入几何运算故1/10^(n-1)不存在）

在上面三个逻辑错误下才有：
3/10+3/10^2+3/10^3+...+3/10^n=(3/10)[1+1/10+1/10^2+...+1/10^(n-1)]
                              =(3/10)[1-1/10^(n-1)]/(1-1/10)
                              =(3/10)[1-0]/(1-1/10)
                              =1/3
所以，上面运算是错误的。

谢芝灵

  第四个逻辑错误：把无限假为有限的才收成一个相加的集，再把一个相加的集有限还原成一个无限。把有限运动与不能运动的无限混为一起计算。

jzkyllcjl

第一，设 An=0.333……3 （n个3） 则n→∞  lim（ 0.333....3）=1/3
第二，设 An=你的右端，则n→∞  limAn=pi
第三，∞ 在数学分析中发散数列{n}或{10n}、{2^n} 的极限，它是一个非正常实数，作为这些数列极限时，它可以被暂时看作定数，但在研究不定式∞-∞或∞/∞时，需要使用它来源的数列进行计算，这说明无穷依赖于有穷数构成的无穷数列。关于无穷大的这种性质、意义与使用方法，就是《简明哲学辞典》所说的“概念应当是可更改的，可修改的，灵活的，变动的，否则它就不能正确地反映现实”的辩证逻辑方法。这个意义与方法也是形式主义者无法理解的意义与方法。

谢芝灵

如果连续接近=== 你这个指无穷小。因为你再接近，还是达不到极限。
因为 无穷小 的一个项可化为为 a/b^n，且a，b为定数，n是无限大，因为无限大是没有靠近一个极限的。
所以 无限小不能到达极限。
以 0.333....为例。都知道0.333....的极限是1/3，
证明 0.333....永远达不到1/3
证：由 0.333....=3/10+3/10^2+3/10^2+3/10^3+...+3/10^n+...
    上面有  10,10^2,10^3,,,,10^n,...,得是散发的， n是变的无限大，因为无限大是没有后界的，也不存在一个极限。
得：3/10+3/10^2+3/10^2+3/10^3+...+3/10^n+...永远到不了一个“目标”，到不了一个“边界”。

上面把无穷大与无穷小的某些必然联系讲清楚了。无穷大达不到边界，得到无穷小也达不到边界。

谢芝灵

无穷小的极限 是0，无穷小不是0

证明：在 1/10^n 中，随着 n的增大，则 1/10^n变小
         n 越大， 1/10^n 的值越小，所以  1/10^n只能无限靠近0
         当，n无限大时，则n不能参与几何系，
         则有  1/10^n≠0， 1/10^n≮0，  1/10^n≯0
         所以 无限小的  1/10^n≠0

谢芝灵

    无穷小的极限 是0，无穷小不是0

    证明：在 1/10^n 中，随着 n的增大，则 1/10^n变小
         n 越大， 1/10^n 的值越小，所以  1/10^n只能无限靠近0
         当，n无限大时，则n不能参与几何系，
         则有  1/10^n≠0， 1/10^n≮0，  1/10^n≯0

    假如能参加几何系，则有0= 1/10^n＞1/10^（n+1）
    得0＞1/10^（n+1）=正数     这个是矛盾的！
    所以 无限小的  1/10^n≠0

elim

兽类能提出【数学中术语“极限”对人类的误导】，【逆翻人类逻辑】等话题，与jzkyllcjl 实践吃狗屎有内在联系．