我与敢峰先生的来往信件选录（续）

雷明85639720

我与敢峰先生的来往信件选录（续）
雷  明
（二○一七年四月十七日）

3，24，敢峰来信：
雷明先生：米勒图与二阶图N非拓扑同构。雷图与张图是相同的拓扑的图。
米勒图还是一个谜。主要是不了解他的构图思路和构图过程。从两图本身看，倘把二阶图N外悬的B去掉，外圈上面的C和D可以换成两个B，但两图外圈下面的C和D位置相反啊！一个四色可证图与一个四色不可证图怎么可能是同一个图呢？米勒图外也不可能有一个隐点能时与外圈5点4色相连。倘将米勒图内外翻转，V区变成了哈密顿圈，最内圈仍是5点4色，在内向证明中，同样四色不可证。
敢峰3月24日

3，25，敢峰来24日写好的信：
雷明先生：我看出来了，经演绎后，两图可以相通。敢峰3、24日晚

3，25，我去信：
方老：
我正在给你写为什么说这四个图是一个图的文章，并回复米勒为什么不能对其进行4—着色，以及张彧典先生又是如何对其进行4—着色的文章要快完了，但还没有一个好的结尾时，看到了你的来信说：“我看出来了，经演绎后，两图可以相通。敢峰3、24日晚”，马上就就给你回复，你的来信使我的文章有了一个很好的结尾，正好以我个人对你，米勒，张彧典三人的评价结束了。等到明天我再把文章审查一次后，就会立即发过来。雷明，2017，3，25，晚

3，27，敢峰来信：
雷明先生：我3月5日定稿中，在回答第二个问题时曾简单谈及米勒图问题。现改为：英国数学家米勒的米勒图是著名的，据知曾发表在1992年牛津大学≪数学季刊≫第二期上。米勒图与我的四色不可解线路集合图（二阶图N）极相似，成图时间可谓同时。主要的不同是，米勒图的外圈是5点4色，显然不是终极图。米勒是清醒的，并没有把B色填入5轮图中的待填色区。经连续”颠倒”不成功，最后放弃了。雷明先生说，两图实质上是一个图，开始我还认为不是。随即在进行演绎中发现，两图是相通的。对米勒图继续经过4步演绎后，可以完全转换为我的图。即：第一步，在A_B环外C与D互换。第二步，在左侧A_D环（连接图外隐点W）中将B换成C。第三步，在右侧A_C环（连接图外隐点W）中将B换成D。这时图外圈就是5点3色的了。第四步，将B色填入图外隐点W。这就同我的图完全一样了。最后可将B填入5轮图的待填色区V。我不了解米勒的构图思路，都有成因，对此，还需继续研究。
敢峰3月27日

3，28，我回复：
对的，米勒的图不是终极图，他并没有空出颜色给待着色顶点。你的图是终极的，你最后是空出了颜色给待着色顶点的。你二人几乎同时构造成了这个图，介他没有最终解决问题，你却解决了，所以我把该图叫做敢峰—米勒图，把你放在前面。我说的敢峰—米勒图，严格的说，不是你的终极图，而是待着色顶点还没有着色的那个图。正象赫渥特图一样，其中含有一个未着色的顶点。
    方老是不是我与你这样频烦的交流，会影响到你的休息和身体呢，你要以休息为主，你说你总是夜里两三点，我心里总是过意不去，但还是总想与你交流，因为爱好相投。很矛盾。

3，29，敢峰来信：
雷明先生：老牛破车，文章终于出炉了。先传给你。我把自己转换为读者，读了多遍。除了再证四色定理外，还感觉它是一方旅游天地。各界人士和大学生有兴趣的都可以看看。如同游香山，虽不爬"鬼见愁”，但也可以观红叶。因我不会上网，这篇文章除请你指教外，还劳你代为上网。（此信也可以同时上网）敢峰3月29日

3，29，我回复：
方老，你的文件格式，我还没有看见过，一是不分页，二是图也不能复制，所以我只好把你的文字复制成分页的文件，再把你的图原样重画一次，可能要一定的时间，作好后再发给你（就与我给你发的我的文件一样的格式），你过目后，我再给你发到网上去。初看了一下，“第五步：在图5左方，为阻断1B与1C连接形成B—C环，致使环中A点换为D色后形成C—D环，导致全图四色可解，需连接2A—2D线路。（见图6）”可图6中看不到你所标记的2A和2D在什么地方。可以后还会有这样的询问。我一定给你把文件搞好，一定帮你发到网上去。初看了一下，可能我们的观点是相通了。雷明，2017，3，29，晚饭前。

4，1，我去信：
方老：
1、已经改完，你看得很细；
2、你要加的两条横线，是想加在在“关链证文”之前，这没有问题，但前面一条，应加在何处。是加在“关链语”之后呢，还是加在“关链图”之前呢。还是两条线把“关链语”后的一段和“关链图”前一段夹在中间呢。要说得具体一点。
3、你要求在图6中增加1C—B线，但你的原图中却是在D—A间有线而1C—B间是没有的，况且从图6开始，以后所有的图中都是在D—A间有线而1C—B间是没有线，另一方面，从你的图左右对称上看，也应是在D—A间有线而1C—B间是没有线的。请方老再审查一次，我再改动。
雷明，4，1，早

4，3，我去信：
方老，一切都改好，你再把今天改的看一下对不对，来信后我再发出。我一般是发在《中国博士网》和《数学中国》网上，同样的《数学中国》网上也是不分面面的。
我发出后把网站的网址与我发的你的文章的网页网址同时发给你，你把我发给你的网址复制到电脑最上面一行的网址栏中，然后点一下回车键就出来了，这时你相怎么看就按网上说的就行了。不光可以看你的，也可以看别人的。雷明，4，3，下午

4，3，我去信：
方老，我又试了一下，能打开带面码的文件。先点我发过去的文件图标/再点对话匡中的“下载”，就有一个物体飞向屏的右上角，/再点屏右上角的向下的箭头就可打开，如不行，点箭头后有一个下拉菜单，里面就有已下载的文件名，点后就可以打开文件了。如果你那里再打不开，我打印一份寄给你去。雷明4，3，晚

4，10，敢峰来信：
雷明先生：读了你的≪直接用地图来证明四色猜测≫。我的感觉是，这是一个静态的四色平衡证明，即：是对区域为n的证明，不是对n+1的证明。四色问题难在n+1的证明，打破了原来的平衡，需要在任何情况下都能使其再平衡。我在1986年的证明中，就是探索这个问题，虽无固定的5轮图，但＂5轮图现象”，一定会出现的，解决的办法就是”宝葫芦定理”。静态证明与动态证明，如果类比，就似牛顿力学与爱因斯坦相对论。
泰特猜想是成立的，与四色猜想等价，或者说是另一种表现形态，但决不等于证明了四色定理。用泰特图证明四色定理也同样会遇到在当前证明中所遇到的问题。
≪直接用地图来证明四色定理≫这个命题很不好，倒置了，也是对你≪最简单证明≫的倒退。任何一张地图都是静态的，本来补做一个静待证明，说明地图的填色问题是可以的和有益的，但却用了这么个命题，请你考虑可否改换一下命题呢？
慢慢想一想，不着急。也许我是不对的。
敢峰4月10日

4，13，我回复：
方老：我想了一下，把《用地图直接来证明四色猜测》改成《无割边的3—正则平面图是可3—边着色的，四色猜测正确！》，你看怎么样。雷明

4，14，敢峰来信：
雷明先生：题目改得好，命题立在主要论证地图四色猜测是正确的，即：是有充分的实际和理论依据的。这样就同四色定理的实际证明统一起来了，并对已作的n+1的证明补行了一个奠基礼。文字上是否还需作某些必要调整，请酌。
四色定理成立本来就是一个客观存在，因为要用数学证明它，因此成为了一道数学难题。n+1这个关口是不能回避的。否则一票可以否决。比如一个大海岛，海洋用了一色，在岛上众多区域中已填有四色，倘在5个已填4色的邻区中增加一个区，应如何填色？静态证明就不行了，就转变为一个艰难的动态证明了。更不用说无限区域的平面图了。在证明中这个问题如果不能解决，怎么能最终说四色定理被证明了呢？敢峰4月14日

4，15，1我回复：
方老：
昨晚十点多钟看到你的信，想了一个晚上，4点钟又起来完成了此验证。现发给你过目。
我文中除了标题要改，要用n＋1进行验证外，那些地方的方字还需要修改，请方老明示。
谢谢你的多次提出验证。太感谢你了。
晚辈雷明，2017，4，15，6：28分

4，16，我去信：
方老，昨天早上太仓促，还有一些情况没有考虑进去，文字也不太清楚。现改正了过来，再请你过目。雷明

4，16，敢峰来信：
雷明先生：你的精神和精力真使我非常钦羡。
猜想的提出是否正确和正确的猜想是否得到了实际证明，是两个概念。我们已作出的三个实际证明（2+1）是后者，你现在的这个证明是前者。对于猜想本身也有个辨识问题，即能否成立和有无价值。过去似尚无人论证过，你补了空白，当然是个重要贡献。我的修改意见，就是不使人把两者混为一谈，而是相互辉映。再者，你对泰特猜想的研究和证明以及这篇文章，也是在为四色问题的实际证明奠立图论上的理论基础和丰富图论。由于我对这些缺乏直接研究，不熟悉，对文章的具体修改，我就不提什么意见了。≪验证≫刚收到，附告。敢峰4月16日

4，16，我回复：
方老：
1、来信收到。我今天才有时间把你的文章好好的看了，但还没有看完，只发现了一个地方我一点小误，提出来你看是否正确。
    2、在构建终极图中的“第四步：在图左方，为不使形成肯泊（Kempe）早已证明的可以同时移去5轮沿两侧B点的K构形图左侧线路，需连接1C—2B—3C线路。（见图5）”中的标点点错了位置，应是：“第四步：在图左方，为不使形成肯泊（Kempe）早已证明的可以同时移去5轮沿两侧B点的K构形，图左侧线路需连接1C—2B—3C线路。（见图5）”
    3、我在《无割边3—正则平面图可3—边着色，四色猜测正确！》一文中已增加了用n＋1个面进行验证的部分，也对其中的文字稍加以更明确性的修改，现发给你，不要着急，有时间时，休息好时，可以看一看。
    4、你不信说的：“猜想的提出是否正确和正确的猜想是否得到了实际证明，是两个概念。我们已作出的三个实际证明（2+1）是后者，你现在的这个证明是前者。对于猜想本身也有个辨识问题，即能否成立和有无价值。过去似尚无人论证过，你补了空白，当然是个重要贡献。我的修改意见，就是不使人把两者混为一谈，而是相互辉映。”我还有点不明白是说什么，是否给我更通俗的说一下。
    5、这下我该要歇一下了。
    雷明，2017，4，16，晚

4，17，我去信：
方老：你的构图方法太绝妙了，一般人很难想出你这样的办法的。
1、你1992年用二十次大演绎，构造了敢峰—米勒图，米勒不能解决，你却解决了，这是中国人的骄傲。
2、你的敢峰—米勒图中有两条环形链A—B和C—D，囊括了我的四个构形中的a类和b类，用我的解决a类构形的办法交换环形的A—B链内、外的任一条C—D链，可以使图变成K—构形而得解；用我的解决b类构形的办法交换环形的C—D链内、外的任一条A—B链，也可以使图变成K—构形而得解。你真高明。
3、你今年又在《海岛理论》一文中用“海岛理论”构造了图8，这个图完全能够代表我的c类和d类，与我解决c、d两类的办法是相同的。你的图8，从左边的B交换B—D（即你的第一步开门引妖）后，得到的是一个可以同时移去两个新的同色D的构形，先从右下D交换D—A（即你的第二步迎妖入室），再从左上D交换D—B（即你的第三步关门擒妖），就可以空出D给待着色的V。当然也可以从右上B交换B—D，空出B给待着色的V。若对图8从右边的B交换B—C，就可以得到一个类似我b类的构形，图中有环形的A—B链，交换其内、外的任一条C—D链，都可使构形成为K—构形而得解。这一方法，你在解决你的敢峰—米勒图时的第二种办法中已经用过了。使用的结果，也是把你的图变成了类似于我的b类的构形，再用解决b类构形的办法去解决。我的c类和d类，只是左右的不同，解决的办法正好是相反的。我把这种交换关于B的链的方法叫做“转型交换”法，因为它交换后，构形中的两个同色发生了变化，也即构形改变了类型。
4、我是把图最后都变成了三角剖分图，最外圈只有三个顶点，当然只能占用三种颜色（A、C、D）了；你是把图最外圈变成一个5点3色（A、C、D），外加了一个隐点B，图仍然是三角剖分图。只是我们的图的顶点数相差了一个，我是十五点形，你是十六点形。解决的办法却是相同的。
5、我构造那四个图的思想是：连通的A—C和A—D链加V后是环，则B—D和B—C不能再连通，而只有A—B链和C—D链可以变动了，该两链的相互关系，只可能是一种成环状，另一条被隔断，或两条都不是环状的。所以只构造了四种图。你的敢峰—米勒图，归入我的a、b那一类都可以，单独作为一类也是可以的。我的c、d两类实际上可以是一类。这样整个H—构形不可免集中少则是三个构形，多则是四个构形。这个论断应该是正确的。
雷明，2017，4，17，上午

4，17，敢峰来信：
雷明先生：16日晚的信和≪最终稿≫收到，因我正在急着为作家朋友的小说写序，信中所提尚未沟通处，请稍待，咱们再讨论。在此期间，深盼你也对≪再证≫全文仔细看看。
你上午发来的信，收到了。
敢峰4月17日

雷  明
二○一七年四月十七日整理于长安

注：此文已于二○一七年五月一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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