回答蔡家雄老师的问题

费尔马1 · 发表于 2017-5-3 14:59

a,b取何值时，
a^b+b^a能被a+b整除？
答案:
a，b为奇数，a＞b，且b∧（a-b） -1是a+b的倍数，
则，a∧b+b∧a能被a+b整除。

费尔马1 · 发表于 2017-5-3 18:59

蔡老师您好:
以上还不是全解，全解可能是:
b∧a —b∧b能被a+b整除，则a∧b+b∧a就能被a+b整除。
例如，a=9，b=3时成立。

费尔马1 · 发表于 2017-5-3 19:44

当a，b同为偶数时，只要b∧a+b∧b是a+b的倍数，则a∧b+b∧a就能被a+b整除。
例如，a=8，b=2时成立。

费尔马1 · 发表于 2017-5-3 20:02

a，b为一奇一偶也有解，例如6∧3+3∧6=945，945/9=105
但是暂时还找不到通解公式，请大家来解。

费尔马1 · 发表于 2017-5-4 10:07

⑴若a为偶数，b为奇数时，只要b∧a—b∧b是a+b的倍数，则a∧b+b∧a就能被a+b整除；
⑵若a为奇数，b为偶数时，只要b∧a+b∧b是a+b的倍数，则a∧b+b∧a就能被a+b整除；

费尔马1 · 发表于 2017-5-4 10:22

⑴若a为偶数，b为奇数，a＞b，只要b∧a—b∧b是a+b的倍数，则a∧b+b∧a就能被a+b整除；
例如，a=8，b=3
⑵若a为奇数，b为偶数，a＞b，只要b∧a+b∧b是a+b的倍数，则a∧b+b∧a就能被a+b整除。
但是第二种情况还没有找到例子。

费尔马1 · 发表于 2017-5-4 11:00

同奇：找规律：有通解公式吗？
通解公式可分几个类型：
b=3,
a=5,
a=7,
a=9,15,21,27,33,39,......都成立！
这些a都是3的倍数。找a与b的函数关系式有难度啊！这道题的难度不亚于哥猜。大家说，是不是啊？

费尔马1 · 发表于 2017-5-4 21:46

很好！很有趣的答案啊！
这个题是n次不定方程，a∧b+b∧a=（a+b）k，有难度的。

费尔马1 · 发表于 2017-5-5 06:41

非常好！
同偶：
b=6时的通解公式，
a=36n - 6,
其中n=1*2^u*3^v*17^w,
并且指数u,v,w均为非负整数.
请问，u，v，w是任意非负整数吗？

费尔马1 · 发表于 2017-5-5 21:10

同偶的通解公式：

b=2n, n为任一正整数，

a=2*(b^2+1) - b.
是不是包括了同偶的全部解？此通解公式是否经过证明，还是归纳法？

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