这群数有多少个数？

王守恩

  有这样一群数：
1， 都是五位数；
2，五个数位上的数字和都是9；
3，通过旋转或翻转得出的五位数只能算是同一个五位数。
如：12303：通过旋转（从左到右）得到12303，23031，30312，31230，
                 通过翻转（从右到左）得到30321，32130，21303，13032。
     则这8个数只能算1个数。我们不妨用最小的12303作代表。
请问：这群数有多少个数？

王守恩

答案是79个。
基本思路。先把9分成5类：
1位数，2位数，3位数，4位数，5位数。然后把每类数细化。
一，1位数。
      9=90000
    小计1个。
二，2位数。
      18=10008，10080
      27=20007，20070
      36=30006，30060
      45=40005，40050
    小计4×2=8个。
三，3位数。
    1，3个数字都相同。
      333=30033，30303
    2，有2个数字相同。
      117=10017，10071，10107，10701
      144=10044，10404，10440，14004
      225=20025，20052，20205，20502
    3，3个数字都不同。
      126=10026，10062，10206，10260，10602，12006
      135=10035，10053，10305，10350，10503，13005
      234=20034，20043，20304，20340，20403，23004
    小计1×2+3×4+3×6=32个。
四，4位数。
    1，有3个数字相同。
      1116=10116，10611
      2223=20223，20322
    2，有2个数字相同。
      1125=10125，10215，10251，10512，10521，11205
      1134=10134，10314，10341，10413，10431，11304
      1224=10224，10242，10422，12024，12042，12204
      1233=10233，10323，10332，12033，12303，13023
    小计2×2+4×6=28个。
五，5位数。
    1，4个数字相同。
      11115=11115
      12222=12222
    2，3个数字相同。
      11124=11124，11214
      11133=11133，11313
    3，只有2个数字相同。
      11223=11223，11232，12123，12213
    小计2×1+2×2+1×4=10个。
六，合计1+8+32+28+10=79个。
陆老师！有好办法吗？

luyuanhong

楼上 王守恩 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

有这样一群数：
1， 都是六位数；
2，六个数位上的数字和都是9；
3，通过旋转或翻转得出的六位数只能算是同一个六位数。
如：122303：通过旋转（从左到右）得到122303，223031，230312，303122，312230，
                    通过翻转（从右到左）得到303221，322130，221303，213032，130322。
     则这10个数只能算1个数。我们不妨用最小的122303作代表。
请问：这群数有多少个数？

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-5-13 11:23
楼上 王守恩 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

求助！有高人給出公式：[C(14,5)/14+C(6,2)]/2=79
我还真琢磨不出来！

天山草

王守恩 发表于 2017-5-14 10:50
求助！有高人給出公式：[C(14,5)/14+C(6,2)]/2=79
我还真琢磨不出来！

是那位【数学研发】网上的 mathematica 吧，这位先生除了狂傲一些外，其实水平还是比较高的，不知是何方神仙？

王守恩

luyuanhong 发表于 2017-5-13 11:23
楼上 王守恩 的帖子很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

我还真不敢这样去想！主帖等同下面的题目：
一个绳圈上穿着9个黑珠5个白珠，问有多少种搭配方法？

王守恩

3个数位上的数字和是9，这样的3位数有12个
4个数位上的数字和是9，这样的4位数有35个
5个数位上的数字和是9，这样的5位数有79个
.................
S(9,3)={[C(12, 3)+2C(4,1)+     0    ]/12+C(5, 1)}/2=12
S(9,4)={[C(13, 4)+    0     +     0    ]/13+C(6, 2)}/2=35
S(9,5)={[C(14, 5)+    0     +     0    ]/14+C(6, 2)}/2=79
S(9,6)={[C(15, 6)+2C(5,2)+     0    ]/15+C(7, 3)}/2=185
S(9,7)={[C(16, 7)+    0     +     0    ]/16+C(7, 3)}/2=375
S(9,8)={[C(17, 8)+    0     +     0    ]/17+C(8, 4)}/2=750
S(9,9)={[C(18, 9)+2C(6,3)+6C(2,1)]/18+C(8, 4)}/2=1387
................
一般地，只要m,n是正整数，S(m,n)均有解。