循环小数节的问题?

fffttt

举例说，
2/3=0.66666666666666666……，它的循环小节有1位。
1/7=0.142857142857……，它的循环小节有6位，
13/49=0.26530612244897959183673469387755……，没有看出循环小节有多少位？
我一直在想，循环小数的小节位数跟分子分母有什么关系吗？或者说，通过分子N,分母M求出其循环小节的函数。
非常遗憾，我找了许多资料，基本上没人讨论过这个问题，数学史上也未找到这个，有人研究吗？应该是容易，是不是数学大师都不屑研究这个小问题？

ysr

陆教授发过类似文章,有无帮组请您搜索1下

fffttt

下面引用由ysr在 2011/05/24 01:33pm 发表的内容：
陆教授发过类似文章,有无帮组请您搜索1下

我是新手，才来论坛不久，不知道谁是陆教授。

尚九天

下面引用由fffttt在 2011/05/24 01:58pm 发表的内容：
:em05: 我是新手，才来论坛不久，不知道谁是陆教授。

    :em05: 你在《运河转角处 …… 》第四楼称作神人的，即陆教授是也。

zy1818sd

见相关文章《余数循环节的相关定理及应用》
13/49=0.26530612244897959183673469387755……，循环小节有42位，
循环小数的小节位数跟分子没有什么关系，循环小数的小节位数跟分母有关系，或者说，若分母为m且与10互素，当10^n≡1 (mod  m)时，n为小数循环节值。
例5. 求分数 1/200000013   化为小数时的循环节长度及节内前100位与后20位的小数值？
解：首先求得ċ(200000013)10=16460422，即得到分数1/200000013   化为小数时的循环节长度为16460422位，再由普通小数计算器做定方余数除法得到所要位数小数真值；
  1/200000013 =Ò.0000000049、9999967500、0021124998、6268750892、5311919854、7252094428、5311919854、7252094428、6138621400、9896089356、7541918109、7753228646     ……       6882111952、6627230769、2300000000、49999……                                                              
第16460422位         

尚九天

下面引用由zy1818sd在 2011/05/24 03:04pm 发表的内容：
见相关文章《余数循环节的相关定理及应用》
13/49=0.26530612244897959183673469387755……，循环小节有42位，
循环小数的小节位数跟分子没有什么关系，
:em05: 循环小数的小节位数跟分母有关系，或者说，若分母为m且与1 ...

    :em05: 先生亦 神人 也！

下面引用由尚九天在 2011/05/24 02:16pm 发表的内容：
下面引用由fffttt在 2011/05/24 01:58pm 发表的内容：
我是新手，才来论坛不久，不知道谁是陆教授。


    你在《运河转角处 …… 》第四楼称作神人的，即陆教授是也。

zy1818sd

不好意思，尚先生过奖了，仅爱好兴趣而已。

luyuanhong

下面引用由fffttt在 2011/05/24 01:23pm 发表的内容：
举例说，
2/3=0.66666666666666666……，它的循环小节有1位。
1/7=0.142857142857……，它的循环小节有6位，
13/49=0.26530612244897959183673469387755……，没有看出循环小节有多少位？
...

求一个既约分数 m/n 的循环节长度，可以用下列方法：
先将 n 中 2 和 5 因子全部约掉，得到一个 n'; 。
如果 9 能被 n'; 整除，则循环节长度为 1 ；
如果 9 不能被 n'; 整除，99 能被 n'; 整除，则循环节长度为 2 ；
如果 99 不能被 n'; 整除，999 能被 n'; 整除，则循环节长度为 3 ；
如果 999 不能被 n'; 整除，9999 能被 n'; 整除，则循环节长度为 4 ；
………
例如，m/n=1849/1850 ，n=1850 约去全部 2 和 5 的因子，得到 n';=37 。
9 ，99 不能被 n';=37 整除，但 999/37=27 能被 37 整除，所以，
m/n=1849/1850=0.999459459459… 的循环节长度为 3 。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的帖子：

zy1818sd

[这个贴子最后由zy1818sd在 2011/06/12 04:00pm 第 1 次编辑]

看了这个贴子很受启发，循环小数理论还有不完善的地方，还应深入研究探究。