求以 y=0 及 y=ax-b 为渐近线的双曲线方程

luyuanhong

这是网友 qingjiao 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

求以 y=0 及 y=ax-b 为渐近线的双曲线方程

说明：该双曲线组分别在第二，第一象限及第四，第三象限，a>0，b>0。

其他问题：

1.符合条件的双曲线是否有无穷多？

2.这些双曲线的顶点与点(b/a，0)的距离是否可以任意近？

中国上海市

把原点平移到两直线y=0和y=ax－b的交点，并将坐标旋转至交线角平分线的位置，此时两直线新方程写成直线的一般式，相乘后把0改为其它实数即可

luyuanhong

谢谢楼上 中国上海市 的解答。下面是此题的详细解答：

qingjiao

非常感谢陆教授的解答！我原来想到的也是将标准双曲线坐标平移旋转之类，这样不仅很繁，没有一般性，而且得不到正确结果，因为两渐近线的交角不一定是直角。
陆教授的解答给出了非常简洁的一般性结果，而且揭示了双曲线的本质。

但我非常奇怪的是，为什么这种不是很复杂的知识在高中数学没有教？（现在不知有没有，我读书的时候是没有的）教来教去都是标准曲线怎样平移旋转等等，不仅自找麻烦，而且没有一般性和本质性的概念。譬如，椭圆和抛物线也是可以转来转去的，角度复杂一些就很难算了。