A,B,C 是三个事件，举例说明：当 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 时，A,B,C 并不一定相互独立

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

P(A且B且C)=P(A) P(B) P(C)  為何不能得到 A,B,C  是獨立事件? 有沒有直觀的反例?

luyuanhong

题  A,B,C 是三个事件，举例说明：当 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 时，A,B,C 并不一定相互独立。

解  例如，投掷一颗各面上分别写有数字 1～8 的均匀的八面体骰子。

    显然，样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6,7,8} ，掷出每一种数字的概率都是 1/8 。

    设 A 为“掷出 1,2,3,4”的事件，A={1,2,3,4} ，P(A) = 4/8 = 1/2 。

       B 为“掷出 1,2,3,5”的事件，B={1,2,3,5} ，P(B) = 4/8 = 1/2 。

       C 为“掷出 1,6,7,8”的事件，C={1,6,7,8} ，P(C) = 4/8 = 1/2 。

    ABC 表示三个事件 A,B,C 同时发生，而同时发生的事件只能是“掷出 1”的事件，即 ABC={1} 。

    所以有   P(ABC) = 1/8 = 1/2 × 1/2 × 1/2 = P(A)P(B)P(C) 。

    AB 表示 A,B 同时发生的事件，即“掷出 1,2,3”的事件，AB={1,2,3} 。这时

    P(AB) = 3/8 ≠ 1/2 × 1/2 =P(A)P(B) ，所以 A,B 并不相互独立。

    AC 表示 A,C 同时发生的事件，即“掷出 1”的事件，AC={1} 。这时

    P(AC) = 1/8 ≠ 1/2 × 1/2 =P(A)P(C) ，所以 A,C 并不相互独立。

    BC 表示 B,C 同时发生的事件，即“掷出 1”的事件，BC={1} 。这时

    P(BC) = 1/8 ≠ 1/2 × 1/2 =P(B)P(C) ，所以 B,C 并不相互独立。

    A,B,C 两两之间都不独立，当然 A,B,C 三者也不会相互独立了。