数学理论的本质与唯物辩证法

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在数学本质、数学是什么的问题上，存在着逻辑主义、直觉主义、形式主义、约定主义、柏拉图主义、拟经验主义。笔者不同意这些主义；笔者认为：虽然不能说：哲学是科学的科学，但需要知道：哲学的基本问题是思维对存在的关系，所有的哲学[派别分成两大类——唯物主义阵营和唯心主义阵营。恩格斯认为：辩证唯物主义的哲学必须以自然科学和数学的全面知识为基础，而自然科学和数学也只有在辩证唯物主义的基础上才能得到良好的发展。因此，笔者提出：数学理论的本质是研究现实数量（包括形）大小及其关系表示方法的科学及其工具。对于现实数量，笔者察看了[苏]罗森塔尔，尤金编，《简明哲学辞典》，其中“物质”词条中讲到：“物质具有许多重要的性质，其中最主要的是运动。物质在空间和时间中存在着。空间和时间是物质存在的客观形式。”在“运动”词条中讲到：“只有运动才是永恒的，绝对的，持久的，静止始终是相对的，暂时的”[6]。这说明，任何现实数量的大小或线段的长度，只有在相对、暂时的意义下，才存在着确定的大小（例如线段长度）；而且也说明：寻求绝对不变的长度度量单位是办不到的；列宁说过：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动”（参看：《列宁全集》第38卷人民出版社1959年版，第285页）。这说明：近似方法是研究现实数量的一个根本方法，当近似方法不满足需要时，可以提出以现实数量大小为极限（即趋向）的逐次逼近方法与理想的绝对准方法。绝对准理想方法与近似方法之间存在着相互依存的对立统一关系；。例如：在导数与瞬时速度的定义中，不仅必须知道：Δt 趋向于0，但始终不等于0，否则它就不能做除数，而且还需要知道：求出的导数和瞬时速度有近似性，它代表的是一个足够小时段（即时间量子上）平均速度的近似值，否则，这样的瞬时速度就无法解释量子力学中的海森堡测不准关系，也解释不了飞矢不动的芝诺悖论。以上问题也说明：数学理论应当以实践为基础、为检验的一个重要标准。
笔者不同意把数学分为纯粹数学与应用数学两类；在生产实践上没有得到应用的形式公理系统，只能叫做准数学理论。有人反对说：“数学是形式系统的科学”，“康托尔创立的集合论是全部数学的基础”、“数理逻辑是数学的基础”。当我说到康托尔集合论中存在着“康托尔悖论、罗素悖论”时，他们说：康托尔集合论是朴素的集合论，现在的ZFC公理集合论已经消除了那些悖论。当我说道：“连续统假设问题”还没有解决时，他们说：那不是问题，人们可以建立ZFC+CH和Z发C+非CH 两个公理体系。看来他们是宁肯建立有矛盾的数学体系，也不愿意放弃形式公理学的研究方法。当我说到：非标准分析与标准分析矛盾时，他们说，两者等价都有用。他们强调形式公理体系的另一个思想是：公理化方法是把推理中的一些推理规则都加以明确化，合法化，使它具有逻辑格的地位，同时也把那些数学原则给以清晰化和合法化，把它们固定为逻辑格。这样，他们就限制了许多可用的有效的现实数量研究方法。