休闲几何之四点共圆

ccmmjj

如下图；ＣＢＥ是一条直线，Ａ、Ｄ在直线同侧，角ＡＢＣ＝角ＤＢＥ，ＣＡ＝ＣＤ。求证：ＡＢＣＤ四点共圆。

sdlijinghua

反证法

过点ABD做圆交直线BE于C'，宜证C'与C重合。

王守恩

有一道题与此题相近，河边取水问题：ＣＢＥ是一条直线（代表河），Ａ、Ｄ在直线同侧，角ＡＢＣ＝角ＤＢＥ，则BA+BD是最短的路线。也就是说，BA+BD＜CA+CD。

luyuanhong

ccmmjj

证明：过Ｂ作角ABD的平分线，交ABD的外接圆于Ｇ，
∵　角ＡＢＣ＝角ＤＢＥ，角ＡＢＧ＝角ＤＢＧ
∴　ＧＢ垂直ＣＥ。
①　若ＣＥ是切线，则ＧＢ是直径，由角ＡＢＧ＝角ＤＢＧ
可知弧ＡＧ＝弧ＤＧ推出弧ＡＢ＝弧ＢＤ于是ＡＢ＝ＢＤ
又已知ＣＡ＝ＣＤ，Ｂ、Ｃ都是ＡＤ垂直平分线上的点，又都
在直线ＣＥ上，这显然与两直线相交交点唯一相矛盾。只能Ｂ、
Ｃ重合。当然这与已知图不符。
②　由①，ＣＥ不是切线，则圆与ＣＥ必有另一交点Ｃ'，由
圆周角定理，Ｃ'Ｇ是直径且角ＡＣ'Ｇ＝角ＤＣ'Ｇ，类似于①
的讨论，Ｃ与Ｃ'是同一个点。
这就证明了ＡＢＣＤ四点共圆。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

shuxuestar

luyuanhong

我已将楼上 shuxuestar 此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

shuxuestar

前面是推证，证明的话：

做ADC的外接圆，直线交圆C与另一点B'这两点。

证得有：c=c';

因B'为在直线上A至D的反射点。（即：A连线D关于直线镜像点D'，有唯一交点B'）

而B也是在直线上A至D的反射点。（A连线D关于直线镜像点D'，有唯一交点B）

所以B'即B且唯一。

也就证明了四点ABCD在外接圆上。


(若c=c'；B'点不在B点位置,则B’点必在法线方位会脱离直线,为不可能的情形。)

shuxuestar

还要排除一种可能：直线不过圆心，否则B点不唯一。