[求助]请陆老师，帮我看一下，我搞不清楚为什么我这么算和你的结果不一样？

soulzero

之前的徽章问题，帖子在这里http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=12243
我还有两个问题：
——1.如果徽章概率都相同时有n个徽章时，你给出一个公式E(X)=n（1+1/2+1/3+……+1/n），这个公式，应该是对于n个徽章概率和为1时才成立的吧
例如，5个徽章，每个20%，那么购物数=5*（1+1/2+1/+1/4+1/5）=11.4166666666667
那么如果n个徽章概率和不为1呢？例如，3个徽章，每个概率都为20%，需要购物次数该怎么计算呢？
是否为：5/3*3（1+1/2+1/3）=9.166666667
************************************************************************
——2.当概率不同时，就是您给出的另一个通式
还是那个例子，a 15% b 20% c 30%，我这么算为什么不对呢？
总购物数，分3步计算，如下
第一步：
1/（15%+20%+30%）=100/65次
第二步：
如果第一步是a，那么第二步是b+c=50%，这个情况占15/65
如果第一步是b，那么第二步是a+c=45%，这个情况占20/65
如果第一步是c，那么第二步是a+b=35%，这个情况占30/65
购物数=（1/50% * 15/65）+（1/45% * 20/65）+（1/35% * 30/65）
第三步：
如果前两步是ab，那么第三部是c=30%，这个情况占30/65
如果前两步是ac，那么第三部是b=20%，这个情况占20/65
如果前两步是bc，那么第三部是a=15%，这个情况占15/65
购物数=（1/30% * 30/65）+（1/20% * 20/65）+（1/15% * 15/65）
总购物数=第一步购物数+第二步购物数+第三步购物数，最终结果=8.61782661782662
这个结果和您的结果9.45909645909646不同，不知道我这么算有什么毛病呢？

luyuanhong

下面引用由soulzero在 2011/06/14 00:18am 发表的内容：
之前的徽章问题，帖子在这里http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=12243
我还有两个问题：
——1.如果徽章概率都相同时有n个徽章时，你给出一个公式E(X)=n（1+1/2+1/3+……+1/n），这　...

    你分“第一步、第二步、第三步”的做法，是不对的。
    根据我的推导，正确的公式应该是：

（1）如果有两种徽章，收到概率为 a,b（a,b 可以相同，也可以不相同。a,b 加起来
可以等于 1 ，也可以小于 1 ），这时需购买商品平均次数是
    E(X)= 1/a+1/b-1/(a+b) 。

（2）如果有三种徽章，收到概率为 a,b,c（a,b,c 可以相同，也可以不相同。a,b,c 加
起来可以等于 1 ，也可以小于 1 ），这时需购买商品平均次数是
    E(X)= 1/a+1/b+1/c-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(b+c)+1/(a+b+c) 。

例如，当 a=15% ，b=20% ，c=30% 时，有
E(X)= 1/15%+1/20%+1/30%-1/(15%+20%)-1/(15%+30%)-1/(20%+30%)+1/(15%+20%+30%）
    = 7747/819 ≈ 9.45909646 。

又例如，当 a=b=c=20% 时，有
E(X)= 1/20%+1/20%+1/20%-1/(20%+20%)-1/(20%+20%)-1/(20%+20%)+1/(20%+20%+20%）
    = 3×1/20% - 3×1/40% + 1/60% = 55/6 ≈ 9.16666667 。

（3）如果有四种徽章，收到概率为 a,b,c,d（a,b,c,d 可以相同，也可以不相同。a,b,c,d
加起来可以等于 1 ，也可以小于 1 ），这时需购买商品平均次数是
1/a+1/b+1/c+1/d-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(a+d)-1/(b+c)-1/(b+d)-1/(c+d)
+1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+c+d)+1/(b+c+d)-1/(a+b+c+d) 。

例如，当 a=b=c=d= 1/4 = 25% 时，有
E(X)= 4×1/25% - 6×1/(25%+25%) + 4×1/(25%+25%+25%) - 1/(25%+25%+25%+25%)
    = 4×1/25% - 6×1/50% + 4×1/75% - 1/100% = 25/3 ≈ 8.3333333 。

注：如果用公式 E(X)= n(1+1/2+1/3+…+1/n) ，当 n=4 时，可以算出
   E(X)= 4×(1+1/2+1/3+1/4) = 25/3 ≈ 8.3333333 ,
与上面算出结果是一样的。   

（4）如果有五种徽章，收到概率为 a,b,c,d,e（a,b,c,d,e 可以相同，也可以不相同。a,b,
c,d,e 加起来可以等于 1 ，也可以小于 1 ），这时需购买商品平均次数是
E(X)= 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e
-1/(a+b)-1/(a+c)-1/(a+d)-1/(a+e)-1/(b+c)-1/(b+d)-1/(b+e)-1/(c+d)-1/(c+e)-1/(d+e)
+1/(a+b+c)+1/(a+b+d)+1/(a+b+e)+1/(a+c+d)+1/(a+c+e)
+1/(b+c+d)+1/(b+c+e)+1/(b+d+e)+1/(b+c+d)+1/(c+d+e)
-1/(a+b+c+d)-1/(a+b+c+e)-1/(a+b+d+e)-1/(a+c+d+e)-1/(b+c+d+e)
+1/(a+b+c+d+e) 。

例如，当 a=b=c=d=e= 1/5 = 20% 时，有
E(X)= 5×1/20% - 10×1/40% + 10×1/60% - 5×1/80% + 1/100%
    = 137/12 ≈ 11.4166667 。

注：用公式 E(X)= n(1+1/2+1/3+…+1/n) ，当 n=5 时，可以算出
   E(X)= 5×(1+1/2+1/3+1/4+1/5) = 137/12 ≈ 11.4166667 ,
与上面算出结果是一样的。

soulzero

陆老师，我发现如果是n个徽章概率相同假设为n，但之和<1时，可以不用您的那个通用公式，因为那个公式当徽章种类很多的时候，组合起来非常多的项数容易遗漏 直接使用 E(X)= n(1+1/2+1/3+…+1/n)变化一下 即：购物数=1/n*（1+1/2+1/3+……+1/n） 例如，3种徽章都是20% 购物数=1/20%*（1+1/2+1/3）=9.166666667 经过验证，和您的结果相同 另外还可以这样做，假设有m个徽章，概率都为n，且m*n<1， 购物数=1/n*m+1/n*(m-1)+1/n*(m-2)+……+1/n 例如，n=20%，m=3 购物数=1/60%+1/40%+1/20%=9.166666667

luyuanhong

下面引用由soulzero在 2011/06/14 03:04pm 发表的内容： 陆老师，我发现如果是n个徽章概率相同假设为n，但之和<1时，可以不用您的那个通用公式，因为那个公式当徽章种类很多的时候，组合起来非常多的项数容易遗漏 直接使用 E(X)= n(1+1/2+1/3+…+1/n)变化一下 即：购物数=1/n*（1+1/2+1/3+……+1/n） 例如，3种徽章都是20% 购物数=1/20%*（1+1/2+1/3）=9.166666667 经过验证，和您的结果相同 另外还可以这样做，假设有m个徽章，概率都为n，且m*n<1， 购物数=1/n*m+1/n*(m-1)+1/n*(m-2)+……+1/n 例如，n=20%，m=3 购物数=1/60%+1/40%+1/20%=9.166666667

你的想法很对，但是其中有一个式子“ 购物数=1/n*（1+1/2+1/3+……+1/n）”不对， 应该改为： “设有 n 种徽章，取到每一种的概率相等，都是 a（ na 可以等于 1 ，也可以小于 1 ）, 这时需要购买商品的平均次数为 E(X)=1/a*(1+1/2+1/3+…+1/n) 。”

soulzero

陆老师改的对，我把徽章的概率和徽章的种类n搞成一个数了^_^
如果徽章的概率不同，您先前的那个通式是否可以简化成和E(X)=1/a*(1+1/2+1/3+…+1/n)类似通式呢？