ΔABC 中，AH=x,BH=y,CH=z，证：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，abc/(xyz)=a/x+b/y+c/z

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

，，，，，，，，，，

天山草

这是 6 年前的老帖子了。第一问的证明在高中三角学课本中就有，网上也不难搜到。

第二问的证明如下。

luyuanhong

原题确实写错了，现已更正。

王守恩

luyuanhong 发表于 2023-11-12 05:48
原题确实写错了，现已更正。

谢谢陆老师！由陆老师的图可知。
\(∠HBA=∠HCA=\pi/2-A,\)
\(∠HAB=∠HCB=\pi/2-B,\)
\(∠HAC=∠HBC=\pi/2-(\pi-A-B),\)
\(即:a=\sin(A),b=\sin(B),c=\sin(\pi-A-B),\)
    \(x=\cos(A),y=\cos(B),z=\cos(\pi-A-B), \)
\(根据三角形面积: abc=yz\sin(A)+zx\sin(B)+xy\sin(A+B)\)
\(两边同除以(xyz): abc/(xyz)=a/x+b/y+c/z\)
\(即: tan(A)tan(B)tan(C)=tan(A)+tan(B)+tan(C)\)

denglongshan

以上证明只适合锐角三角形